Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）過點A（2，0），B（0，1）兩點．
（1）求橢圓C的方程及離心率；
（2）設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點A，B．已知點A的坐標(biāo)為（﹣a，0），點 Q（0，y0）在線段AB的垂直平分線上，且 =4，求y0的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，橢圓C： =1（a＞b＞0）焦點在x軸上，

過點A（2，0），B（0，1）兩點．

∴a=2，b=1．

∴橢圓C的方程為 ；

又c= = ，

∴離心率e= =

（2）解：由（1）可知A（﹣2，0）．

設(shè)B點的坐標(biāo)為（x1，y1），直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+2）．

于是A，B兩點的坐標(biāo)滿足方程組 ，

由方程組消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0．

由﹣2x1= ，得x1= ．

從而y1= ．

設(shè)線段AB的中點為M，

則M的坐標(biāo)為（﹣ ， ）．

以下分兩種情況：

① 當(dāng)k=0時，點B的坐標(biāo)為（2，0），線段AB的垂直平分線為y軸，于是 =（﹣2，﹣y0）， =（2，﹣y0）．

由 =4，得y0=±2 ．

②當(dāng)k≠0時，線段AB的垂直平分線方程為

y﹣ =﹣ （x+ ）．

令x=0，解得y0=﹣ ．

由 =（﹣2，﹣y0）， =（x1，y1﹣y0）．

=﹣2x1﹣y0（y1﹣y0）

= + （ + ）

= =4，

整理得7k2=2，故k=± ．所以y0=± ．

綜上，y0=±2 或y0=±

【解析】（1）由題意可知：焦點在x軸上，過點A（2，0），B（0，1）兩點，則a=2，b=1．c= = ，離心率e= = ；即可求得橢圓C的方程及離心率；（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），代入橢圓方程，由韋達定理，中點坐標(biāo)公式，求得中點M的坐標(biāo)，分類，①當(dāng)k=0時，點B的坐標(biāo)為（2，0），由 =4，得y0=±2 ．②當(dāng)k≠0時，線段AB的垂直平分線方程為y﹣ =﹣ （x+ ）．向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示．即可求得求得y0的值．