Question

在平面直角坐標系xOy中，已知F₁（-4，0），直線l：x=-2，動點M到F₁的距離是它到定直線l距離的

2

倍．設動點M的軌跡曲線為E．
（1）求曲線E的軌跡方程．
（2）設點F₂（4，0），若直線m為曲線E的任意一條切線，且點F₁、F₂到m的距離分別為d₁，d₂，試判斷d₁d₂是否為常數(shù)，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用動點M到F₁的距離是它到定直線l距離的

2

倍，建立方程，化簡可得曲線E的軌跡方程；
（2）分類討論，設出切線方程代入雙曲線方程，利用根的判別式及點到直線的距離公式，即可得到結論．

解答：解：（1）由題意，設點M（x，y），則有|MF1|=

(x+4)2+y2

，點M（x，y）到直線的距離d=|x-（-2）|=|x+2|，故

(x+4)2+y2

=

2

|x+2|，化簡后得：x²-y²=8．
故動點M的軌跡方程為x²-y²=8
（2）d₁d₂是常數(shù)，證明如下：
若切線m斜率不存在，則切線方程為x=±2

2

，此時d1d2=(c+a)(c-a)=b2=8
當切線m斜率存在時，設切線m：y=kx+b，代入x²-y²=8，整理得：x²-（kx+b）²=8，
∴（1-k²）x²-2bkx-（b²+8）=0
由△=（-2bk）²+4（1-k²）（b²+8）=0，化簡得：b²=8k²-8
又由m：kx-y+b=0，∴d1=

|-4k+b|

k2+1

，  d2=

|4k+b|

k2+1

，
∴d1d2=

|16k2-b2|

k2+1

=

|16k2-(8k2-8)|

k2+1

=8=常數(shù)．
綜上，故對任意切線m，d₁d₂是常數(shù)

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與雙曲線的位置關系，考查點到直線的距離公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．