Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= （其中常數(shù)a＞0，且a≠1）．
（1）當(dāng)a=10時(shí)，解關(guān)于x的方程f（x）=m（其中常數(shù)m＞2 ）；
（2）若函數(shù)f（x）在（﹣∞，2]上的最小值是一個(gè)與a無(wú)關(guān)的常數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=

①當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）= ＞3．因?yàn)閙＞2 ．

則當(dāng)2 ＜m≤3時(shí)，方程f（x）=m無(wú)解；

當(dāng)m＞3，由10x= ，得x=lg ．

②當(dāng)x≥0時(shí)，10x≥1．由f（x）=m得10x+ =m，

∴（10x）2﹣m10x+2=0．

因?yàn)閙＞2 ，判別式△=m2﹣8＞0，解得10x= ．

因?yàn)閙＞2 ，所以 ＞ ＞1．

所以由10x= ，解得x=lg ．

令 =1，得m=3．

所以當(dāng)m＞3時(shí)， = ＜ =1，

當(dāng)2 ＜m≤3時(shí)， = ＞ =1，解得x=lg ．

綜上，當(dāng)m＞3時(shí)，方程f（x）=m有兩解x=lg 和x=lg ；

當(dāng)2 ＜m≤3時(shí)，方程f（x）=m有兩解x=lg ．

（2）解：①若0＜a＜1，

當(dāng)x＜0時(shí)，0＜f（x）= ＜3；

當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f（x）=ax+ ．

令t=ax，則t∈[a2，1]，g（t）=t+ 在[a2，1]上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)t=1，即x=0時(shí)f（x）取得最小值為3．

當(dāng)t=a2時(shí)，f（x）取得最大值為 ．

此時(shí)f（x）在（﹣∞，2]上的值域是（0， ]，沒(méi)有最小值．

②若a＞1，

當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）= ＞3；

當(dāng)0≤x≤2時(shí)f（x）=ax+ ．

令t=ax，g（t）=t+ ，則t∈[1，a2]．

①若a2≤ ，g（t）=t+ 在[1，a2]上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)t=a2即x=2時(shí)f（x）取最小值a2+ ，最小值與a有關(guān)；

②a2＞ ，g（t）=t+ 在[1， ]上單調(diào)遞減，在[ ，a2]上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)t= 即x=loga 時(shí)f（x）取最小值2 ，最小值與a無(wú)關(guān)．

綜上所述，當(dāng)a≥ 時(shí)，f（x）在（﹣∞，2]上的最小值與a無(wú)關(guān)．

【解析】（1）當(dāng)a=10時(shí)，脫掉絕對(duì)值，寫(xiě)出f（x）的分段函數(shù)，根據(jù)分段函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間所對(duì)應(yīng)的解析式進(jìn)行求解，（2）根據(jù)題意有，對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，①a＞1時(shí)，②0＜a＜1時(shí)，兩種情況分析，每種情況下根據(jù)絕對(duì)值，再按照x≥0時(shí)，和-2≤x＜0兩種情況討論，最后可得結(jié)論.