Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）定義在R上，對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1．
（1）求證：f（0）=1且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1；
（2）設(shè)集合A={（x，y）|f（-x²+6x-1）•f（y）=1}，B={（x，y）|y=a}，且A∩B=∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求證：f（x）在R上是減函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）依題意，取m=0，n=2⇒f（0+2）=f（0）f（2），當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1⇒f（2）≠0，于是知f（0）=1；當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0⇒

1

f(-x)

＞1；取 m=x，n=-x，⇒f（x）•f（-x）=1，從而可證當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1；
（2）依題意，在集合A中，y=x²-6x+1；在集合B中，有y=a，由A∩B=∅知拋物線(xiàn)y=x²-6x+1與直線(xiàn)y=a無(wú)交點(diǎn)，從而可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）由（1）及題設(shè)可知，在R上f（x）＞0，設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，f（x₁-x₂）＞1，作差f（x₁）-f（x₂），判斷符號(hào)，從而利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明其單調(diào)遞減的性質(zhì)．

解答：證明：（1）∵f（m+n）=f（m）•f（n），m，n為任意實(shí)數(shù)，
取m=0，n=2，則有f（0+2）=f（0）f（2），
∵當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1，
∴f（2）≠0，
∴f（0）=1；
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
∴0＜f（-x）＜1，
∴

1

f(-x)

＞1；
取 m=x，n=-x，
則f（x-x）=f（0）=f（x）•f（-x）=1，
∴f（x）=

1

f(-x)

；
（2）在集合A中，∵f（-x²+6x-1）•f（y）=1，
∴f（-x²+6x-1+y）=f（0），
∴-x²+6x-1+y=0，
即y=x²-6x+1，
在集合B中，有y=a，
∵A∩B=∅，則拋物線(xiàn)y=x²-6x+1與直線(xiàn)y=a無(wú)交點(diǎn)，
∵y=x²-6x+1=（x-3）²-8，
∴y_mim=-8，
∴a＜-8，即a的取值范圍是（-∞，-8）；
（3）證明：由（1）及題設(shè)可知，在R上f（x）＞0，
設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）
=f（x₁-x₂+x₂）-f（x₂）
=f（x₁-x₂）•f（x₂）-f（x₂）
=[f（x₁-x₂）-1]•f（x₂），
∵f（x₁-x₂）-1＞0，f（x₂）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查賦值法，考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，突出考查函數(shù)單調(diào)性的判定與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合應(yīng)用，屬于難題．