Question

已知f（x）=

1

3x-1

+a為奇函數(shù)．（1）求a的值；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先由奇函數(shù)建立等式，求a，
（2）嚴(yán)格按照單調(diào)性定義，使得函數(shù)增函數(shù)的區(qū)間是增區(qū)間，使得函數(shù)是減函數(shù)的是減區(qū)間．

解答：解：（1）∵f（-x）=

1

3-x-1

=-1+a-

1

3x-1

=-1+2a-f（x），
由f（-x）=-f（x），
得-1+2a=0．
∴a=

1

2

．
（2）對于任意x₁≠0，x₂≠0，且x₁＜x₂．
f（x₁）-f（x₂）=

1

3x1-1

-

1

3x2-1

=

3x2-3x1

(3x1-1)(3x2-1)

．
當(dāng)x₁＜x₂＜0時(shí)，3x2＜3x1，3x2＜1，3x1＜1
∴f（x₁）-f（x₂）＞0；
當(dāng)0＜x₁＜x₂時(shí)，3x2＞3x1，3x2＞1，3x1＞1．
∴f（x₁）-f（x₂）＞0．
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及運(yùn)算能力．主要是利用和鞏固奇偶函數(shù)的定義、單調(diào)函數(shù)的定義．