【題目】設(shè)n≥2，n∈N* ， 有序數(shù)組（a1 ， a2 ， …，an）經(jīng)m次變換后得到數(shù)組（bm ， 1 ， bm ， 2 ， …，bm ， n），其中b1 ， i=ai+ai+1 ， bm ， i=bm﹣1 ， i+bm﹣1 ， i+1（i=1，2，…，n），an+1=a1 ， bm﹣1 ， n+1=bm﹣1 ， 1（m≥2）．例如：有序數(shù)組（1，2，3）經(jīng)1次變換后得到數(shù)組（1+2，2+3，3+1），即（3，5，4）；經(jīng)第2次變換后得到數(shù)組（8，9，7）．
（1）若ai=i（i=1，2，…，n），求b3 ， 5的值；
（2）求證：bm ， i= ai+jCmj ， 其中i=1，2，…，n． （注：i+j=kn+t時(shí)，k∈N* ， i=1，2，…，n，則ai+j=a1）

【答案】
（1）解：依題意（1，2，3，4，5，6，7，8，…，n），

第一次變換為（3，5，7，9，11，13，15，…，n+1），

第二次變換為（8，12，16，20，24，28，…，n+4），

第三次變換為（20，28，36，44，52，…，n+12），

∴b3，5=52


（2）解：用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)m∈N*，bm，i= ai+jCmj，其中i=1，2，…，n，

（i）當(dāng)m=1時(shí)，b1，i= ai+jC1j，其中i=1，2，…，n，結(jié)論成立，

（ii）假設(shè)m=k時(shí)，k∈N*時(shí)，bk，i= ai+jCkj，其中i=1，2，…，n，

則m=k+1時(shí)，bk+1，i=bk，i+bk，i+1= ai+jCkj+ ai+j+1Ckj= ai+jCkj+ ai+j+1Ckj﹣1，

=aiCk0+ ai+j（Ckj+Ckj﹣1）+ai+k+1Ckk，

=aiCk+10+ ai+jCk+1j+ai+k+1Ck+1k+1，

= ai+jCk+1j，

所以結(jié)論對(duì)m=k+1時(shí)也成立，

由（i）（ii）可知，對(duì)m∈N*，bm，i= ai+jCmj，其中i=1，2，…，n成立


【解析】（1）根據(jù)新定義，分別進(jìn)行1次，2次，3次變化，即可求出答案，（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知美國(guó)蘋果公司生產(chǎn)某款iphone手機(jī)的年固定成本為40萬(wàn)美元，每生產(chǎn)1只還需另投入16美元．設(shè)蘋果公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款iphone手機(jī)x萬(wàn)只并全部銷售完，每萬(wàn)只的銷售收入為R（x）萬(wàn)美元，且R（x）=
（1）寫出年利潤(rùn)W（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬(wàn)只）的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)只時(shí)，蘋果公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足 = ．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2 ，求△ABC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓，點(diǎn)，直線.

（1）求與圓相切，且與直線垂直的直線方程；

（2）在直線上（為坐標(biāo)原點(diǎn)），存在定點(diǎn)（不同于點(diǎn)），滿足：對(duì)于圓上任一點(diǎn)，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】(1)；(2)答案見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

（1）設(shè)所求直線方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑可得關(guān)于b的方程，解方程可得，則所求直線方程為

（2）方法1：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，由題意可得，則，然后證明為常數(shù)為即可.

方法2：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，使得為常數(shù)，則，據(jù)此得到關(guān)于的方程組，求解方程組可得存在點(diǎn)對(duì)于圓上任一點(diǎn)，都有為常數(shù).

試題解析：

（1）設(shè)所求直線方程為，即，

∵直線與圓相切，∴，得，

∴所求直線方程為

（2）方法1：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，

當(dāng)為圓與軸左交點(diǎn)時(shí)，；

當(dāng)為圓與軸右交點(diǎn)時(shí)，，

依題意，，解得，（舍去），或.

下面證明點(diǎn)對(duì)于圓上任一點(diǎn)，都有為一常數(shù).

設(shè)，則，

∴ ，

從而為常數(shù).

方法2：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，使得為常數(shù)，則，

∴，將代入得，

，即

對(duì)恒成立，

∴，解得或（舍去），

所以存在點(diǎn)對(duì)于圓上任一點(diǎn)，都有為常數(shù).

點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．

(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．

【題型】解答題
【結(jié)束】
22

【題目】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，其中為常數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值，并推斷方程是否有實(shí)數(shù)解；

（2）若在區(qū)間上的最大值為-3，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線與以為直徑的圓相交于，兩點(diǎn)．

（1）若，求圓的方程；

（2）求證：點(diǎn)始終在某定圓上．

（3）是否存在一定點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得為常數(shù)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，某機(jī)械廠要將長(zhǎng)，寬的長(zhǎng)方形鐵皮進(jìn)行裁剪．已知點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，裁剪時(shí)先將四邊形沿直線翻折到處（點(diǎn)分別落在直線下方點(diǎn)處，交邊于點(diǎn)），再沿直線裁剪．

（1）當(dāng)時(shí)，試判斷四邊形的形狀，并求其面積；

（2）若使裁剪得到的四邊形面積最大，請(qǐng)給出裁剪方案，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=2x﹣a，g（x）=x+2．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）+f（﹣x）≤g（x）的解集；
（2）求證： 中至少有一個(gè)不小于 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓E： + =1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的3個(gè)頂點(diǎn)，直線l：y=﹣x+3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T．
（Ⅰ）求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，且與直線l交于點(diǎn)P．證明：存在常數(shù)λ，使得|PT|2=λ|PA||PB|，并求λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣2ρcosθ﹣4=0
（1）若直線l與曲線C沒(méi)有公共點(diǎn)，求m的取值范圍；
（2）若m=0，求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)．

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