【題目】已知函數(shù) .
(1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間 上存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)x≥1時(shí),不等式 恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【答案】
(1)解:因?yàn)? ,x>0,則 ,(1分)
當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)>0;
當(dāng)x>1時(shí),f'(x)<0.
所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值.
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(a,a+ )(其中a>0)上存在極值,
所以 解得
(2)解:不等式 ,即為 ,記 ,
所以 =
令h(x)=x﹣lnx,
則 ,∵x≥1,∴h'(x)≥0,∴h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,∴[h(x)]min=h(1)=1>0,
從而g'(x)>0,
故g(x)在[1,+∞)上也單調(diào)遞增,所以[g(x)]min=g(1)=2,
所以k≤2
【解析】(1)因?yàn)? ,x>0,x>0,則 ,利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,a+ )(其中a>0)上存在極值,能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.(2)不等式 ,即為 ,構(gòu)造函數(shù) ,利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的極值的相關(guān)知識(shí),掌握極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=2x﹣1.
(1)求f(3)+f(﹣1);
(2)求f(x)的解析式;
(3)若x∈A,f(x)∈[﹣7,3],求區(qū)間A.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=﹣bx,其中a,b,c∈R且滿足a>b>c,f(1)=0.
(1)證明:函數(shù)f(x)與g(x)的圖象交于不同的兩點(diǎn);
(2)若函數(shù)F(x)=f(x)﹣g(x)在[2,3]上的最小值為9,最大值為21,試求a,b的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+2x+c(a、c∈N*)滿足:①f(1)=5;②6<f(2)<11.
(1)求a、c的值;
(2)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x∈[ , ],都有f(x)﹣2mx≤1成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= 是定義在R上的奇函數(shù),且f(1)=2.
(1)求實(shí)數(shù)a,b并寫出函數(shù)f(x)的解析式;
(2)判斷函數(shù)f(x)在(﹣1,1)上的單調(diào)性并加以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若不等式2xlnx≥﹣x2+ax﹣3對(duì)x∈(0,+∞)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣∞,0)
B.(0,+∞)
C.(﹣∞,4]
D.[4,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為, ,過點(diǎn)與軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn), 的面積為,橢圓的離心力為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),直線: 與軸交于點(diǎn),與橢圓交于, 兩個(gè)不同的點(diǎn),若存在實(shí)數(shù),使得,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的最小正周期為.
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在中,角的對(duì)邊分別是滿足,求函數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的離心率與雙曲線: 的離心率互為倒數(shù),且經(jīng)過點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)如圖,已知是橢圓上的兩個(gè)點(diǎn),線段的中垂線的斜率為且與交于點(diǎn), 為坐標(biāo)原點(diǎn),求證: 三點(diǎn)共線.
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