Question

已知定義域?yàn)椋∣，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x），若對(duì)任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）+]=3”，則方程f（x）=2+的解的個(gè)數(shù)是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．O

Answer 1

【答案】分析：由題設(shè)知必存在唯一的正實(shí)數(shù)a，滿足，f（a）=3，，故3+，，，左增，右減，有唯一解a=2，故，由此能夠?qū)С龇匠蘤（x）=2+的解的個(gè)數(shù)是2．
解答：解：∵定義域?yàn)椋∣，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x），
滿足f[f（x）+]=3，f（x）=2+，
∴必存在唯一的正實(shí)數(shù)a，
滿足，f（a）=3，①
∴，②
由①②得：3+，
，
，左增，右減，有唯一解a=2，
故，
f（x）=2-，
由2-=2+，得，
∴，
令，則t²=2^t，
此方程只有兩個(gè)正根t=2，或t=4，
∴x=4，或x=16．
故方程f（x）=2+的解的個(gè)數(shù)是2．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的綜合運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，難度大．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．