Question

【題目】四棱錐的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，側(cè)面PAD是正三角形，，E為AD的中點(diǎn)，二面角為．

證明：平面PBE；

求點(diǎn)P到平面ABCD的距離；

求直線BC與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）（3）

【解析】

推導(dǎo)出，，由此能證明平面PBE．

由平面PBE，得，從而是二面角的平面角，，推導(dǎo)出平面平面ABCD，作，垂足為F，則平面ABCD，由此能求出點(diǎn)P到面ABC的距離．

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線BC與平面PAB所成角的正弦值．

證明：是正三角形，E為AD中點(diǎn)，

，

，PE與PB是平面PBE內(nèi)的兩條相交線，

平面PBE．

解：平面PBE，平面PBE，

，

是二面角的平面角，，

平面PBE，平面ABCD，

平面平面ABCD，

作，垂足為F，則平面ABCD，

，

點(diǎn)P到面ABC的距離為．

，E為AD中點(diǎn)，

，即為正三角形，

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則0，，，，0，，

，，0，，

設(shè)y，是平面ABP的一個(gè)法向量，

則，取，得，

，與平面APB所成的角和BC與平面APB所成的角相等，

設(shè)BC與平面APB所成角為，

．

直線BC與平面PAB所成角的正弦值為．