Question

如圖，平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=，其中AC與BD交于點G，A₁點在面ABCD上的射影0恰好為線段AD的中點．
（1）求點G到平面ADD₁A₁距離；
（2）若D₁G與平面ADD₁A₁所成角的正弦值為，求二面角D₁-OC-D的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BO，取DO中點H，連接GH，由題意可得：平面AD₁⊥平面AC，進而證明BO⊥平面AD₁，由GH與OB的關(guān)系可得答案．
（2）建立空間直角坐標系，根據(jù)題意分別求出兩個平面的法向量，結(jié)合向量間的運算關(guān)系求出兩個向量的夾角．進而轉(zhuǎn)化為二面角的平面角．
解答：解：（1）連接BO，取DO中點H，連接GH，
因為A₁O⊥平面AC，所以平面AD₁⊥平面AC，
又底面為菱形，O為AD中點，
所以BO⊥平面AD₁，
因為GH∥BO，
所以GH⊥平面AD₁，
又GH==，
所以點G到平面ADD₁A₁的距離為．
（2）分別以O(shè)A，OB，OA₁所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的坐標系，
則 ，D₁（-2，0，a），所以，
面AD₁的一個法向量，
所以，解得a=1，
因為面OCD的一個法向量為n=（0，0，1），
設(shè)面OCD₁的一個法向量為p=（x，y，z），則，，
則有所以，
取，，
則，
所以二面角D-OC-D₁的大小為．
點評：夾角成立問題的關(guān)鍵是數(shù)列掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以便得到線面關(guān)系以及建立坐標系，利用向量夾角空間角，空間距離等問題．