Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2tx+4t³+t²-3t+3，其中x∈R，t∈R，將f（x）的最小值記為g（t）．
（1）求g（t）的表達式；
（2）討論g（t）在區(qū)間[-1，1]內(nèi)的單調(diào)性；
（3）若當t∈[-1，1]時，|g（t）|≤k恒成立，其中k為正數(shù)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x）=2x-2t，當x＞t時和當x＜t時函數(shù)的增減性即可得到f（x）的最小值為f（t）=g（t）算出即可
（2）求出g（t）=0求出函數(shù)駐點，在[-1，1]上討論函數(shù)的單調(diào)性即可；
（3）要討論，|g（t）|≤k恒成立即g（t）的最大值≤k，求出g（t）的最大值列出不等式求出k的范圍即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意得f′（x）=2x-2t=0得x=t，當x＜t時，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)；當x＞t時，f′（x）＞0，函數(shù)為減函數(shù)．則f（x）的最小值g（t）=f（t）=4t³-3t+3；
（2）求出g′（t）=12t²-3=0解得t=±

1

2

，
當-1≤t＜-

1

2

或

1

2

≤t≤1時，g′（t）＞0，函數(shù)為增函數(shù)；
當-

1

2

≤t≤

1

2

時，g′（t）＜0，函數(shù)為減函數(shù)．所以函數(shù)的遞增區(qū)間為[-1，-

1

2

]與[

1

2

，1]，遞減區(qū)間為[-

1

2

，

1

2

）；
（3）由（2）知g（t）的遞增區(qū)間為[-1，-

1

2

]與[

1

2

，1]，遞減區(qū)間為[-

1

2

，

1

2

）；
又g（1）=4，g（-

1

2

）=4
∴函數(shù)g（t）的最大值為4，
則g（t）≤4．
∵當t∈[-1，1]時，|g（t）|≤k恒成立，
∴k≥4

點評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，以及理解函數(shù)恒成立條件的能力．