Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)P，使|OP|=|OF₁|（O為原點(diǎn)），且|PF₁|=

3

|PF₂|，則雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

分析：依題意可知|OF₁|=|OF₂|=|OP|判斷出∠F₁PF₂=90°，設(shè)出|PF₂|=t，則|F₁P|=

3

t，進(jìn)而利用雙曲線定義可用t表示出a，根據(jù)勾股定理求得t和c的關(guān)系，最后可求得雙曲線的離心率．

解答：解：∵|OF₁|=|OF₂|=|OP|
∴∠F₁PF₂=90°
設(shè)|PF₂|=t，則|F₁P|=

3

t，a=

3 t-t

2

∴t²+3t²=4c²，
∴t=c
∴e=

c

a

=

3

+1．
故答案為：

3

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了學(xué)生對(duì)雙曲線定義的理解和靈活運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．