Question

某單位舉行新年猜謎獲獎活動，每位參與者需要先后回答兩道選擇題：問題A有四個選項(xiàng)，問題B有六個選項(xiàng)，但都只有一個選項(xiàng)是正確的．正確回答問題A可獲獎金a元，正確回答問題B可獲獎金b元．活動規(guī)定：①參與者可任意選擇回答問題的順序；②如果第一個問題回答錯誤，則該參與者猜獎活動中止．
（1）若a=100，b=200時，某人決定先回答問題B，則他獲得獎金的期望值為多少；
（2）一個參與者在回答問題前，對這兩個問題都很陌生，因而準(zhǔn)備靠隨機(jī)猜測回答問題．試確定回答問題的順序使獲獎金額的期望值較大．

Answer 1

分析：先根據(jù)題意得出：隨機(jī)猜對問題A的概率P1=

1

4

，隨機(jī)猜對問題B的概率P2=

1

6

，
（1）若先回答問題B，則參與者獲獎金額η可取0，200，300，由η的分布列算出期望值：Eη=0×

5

6

+200×

1

8

+300×

1

24

=

75

2

元；
（2）回答問題的順序有兩種，分別討論如下：
若先回答問題A，再回答問題B．參與者獲獎金額ξ可取0，a，a+b，由ξ的分布列算出期望值Eξ=0×

1

4

+a×

5

24

+(a+b)×

1

24

=

6a+b

24

元，若先回答問題B，再回答問題A．參與者獲獎金額η可取0，b，a+b，由η的分布列算出期望值Eη=0×

5

6

+b×

1

8

+(a+b)×

1

24

=

a+4b

24

元（7分）Eξ-Eη=

6a+b

24

-

a+4b

24

=

5a-3b

24

，最后比較Eξ＞Eη的大小即可得出結(jié)果

解答：解：隨機(jī)猜對問題A的概率P1=

1

4

，隨機(jī)猜對問題B的概率P2=

1

6

（1）若先回答問題B，則參與者獲獎金額η可取0，200，300，則P(η=0)=1-P2=

5

6

，P(η=200)=P2(1-P1)=

1

8

，P(η=300)=P1P2=

1

24

∴Eη=0×

5

6

+200×

1

8

+300×

1

24

=

75

2

元（3分）
（2）回答問題的順序有兩種，分別討論如下：
若先回答問題A，再回答問題B．參與者獲獎金額ξ可取0，a，a+b，則P(ξ=0)=1-P1=

3

4

，P(ξ=a)=P1(1-P2)=

5

24

，P(ξ=a+b)=P1P2=

1

24

∴Eξ=0×

1

4

+a×

5

24

+(a+b)×

1

24

=

6a+b

24

元（5分）
若先回答問題B，再回答問題A．參與者獲獎金額η可取0，b，a+b，則P(η=0)=1-P2=

5

6

，P(η=a)=P2(1-P1)=

1

8

，P(η=a+b)=P1P2=

1

24

∴Eη=0×

5

6

+b×

1

8

+(a+b)×

1

24

=

a+4b

24

元（7分）Eξ-Eη=

6a+b

24

-

a+4b

24

=

5a-3b

24

∴當(dāng)

a

b

＞

3

5

時，Eξ＞Eη，先回答問題A，再回答問題B，獲獎的期望值較大；
當(dāng)

a

b

=

3

5

時，Eξ=Eη，兩種順序獲獎的期望值相等；
當(dāng)

a

b

＜

3

5

時，Eξ＜Eη，先回答問題B，再回答問題A，獲獎的期望值較大．（10分）

點(diǎn)評：期望是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要概念之一，是反映隨機(jī)變量取值分布的特征數(shù)，學(xué)習(xí)期望將為今后學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)知識做鋪墊．同時，它在市場預(yù)測，經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)，風(fēng)險與決策等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，為今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及相關(guān)學(xué)科產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響．