Question

【題目】已知橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，離心率為，不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).

（1）若為線段的中點(diǎn)，求直線的方程.

（2）若點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且滿足，設(shè)直線與直線的斜率分別為，，問是否為定值？若是，請求出的值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）的值是定值，且值為

【解析】

（1）設(shè)橢圓的半焦距為，根據(jù)題意可得，解得，得到橢圓的方程為.設(shè)，.易知，由于點(diǎn)，都在橢圓上，得到，兩式相減得到，再根據(jù)為線段的中點(diǎn)求解.

（2）由（1）可知，直線，點(diǎn).設(shè)點(diǎn)，，根據(jù)，得.，再代入求解.

（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意可得，解得.

故橢圓的方程為.

設(shè)，.易知，

由于點(diǎn)，都在橢圓上，所以，

所以.

因?yàn)?/span>為線段的中點(diǎn)，

所以.

故直線的方程為，即.

（2）由（1）可知，直線，點(diǎn).

設(shè)點(diǎn)，，

易知.因?yàn)?/span>，

所以，得.

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即.

所以，

所以的值是定值，且值為.