Question

實驗中學的三名學生甲、乙、丙參加某大學自主招生考核測試，在本次考核中只有合格和優(yōu)秀兩個等次，若考核為合格，則授予10分降分資格；考核優(yōu)秀，授予20分降分資格．假設甲乙丙考核為優(yōu)秀的概率分別為

2

3

、

2

3

、

1

2

，他們考核所得的等次相互獨立．
（1）求在這次考核中，甲乙丙三名同學中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率．
（2）記在這次考核中甲乙丙三名同學所得降分之和為隨機變量ξ，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）記“甲考核為優(yōu)秀”為事件A，“乙考核為優(yōu)秀”為事件B，“丙考核為優(yōu)秀”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核為優(yōu)秀”為事件E．則事件A、B、C是相互獨立事件，事件

.

A

.

B

.

C

與事件E是對立事件，于是利用間接法能夠求出甲乙丙三名同學中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率．
（2）ξ的所有可能取值為30，40，50，60．分別求出P（ξ=30），P（ξ=40），P（ξ=50），P（ξ=60）的值，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望Eξ．

解答：解：（1）記“甲考核為優(yōu)秀”為事件A，“乙考核為優(yōu)秀”為事件B，“丙考核為優(yōu)秀”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核為優(yōu)秀”為事件E．
則事件A、B、C是相互獨立事件，事件

.

A

.

B

.

C

與事件E是對立事件，于是
P（E）=1-P（

.

A

.

B

.

C

）=1-（1-

2

3

）（1-

2

3

）（1-

1

2

）=

17

18

．…（4分）
（2）ξ的所有可能取值為30，40，50，60．
P（ξ=30）=P（

.

A

.

B

.

C

）=（1-

2

3

）（1-

2

3

）（1-

1

2

）=

1

18

，
P（ξ=40）=P（A

.

B

.

C

）+P（

.

A

B

.

C

）+P（

.

A

.

B

C）=

5

18

，…（6分）
P（ξ=50）=P（AB

.

C

）+P（A

.

B

C）+P（

.

A

BC）=

8

18

，
P（ξ=60）=P（ABC）=

4

18

．…（8分）
所以ξ的分布列為

ξ	30	40	50	60
P	1 18	5 18	8 18	4 18

∴Eξ=30×

1

18

+40×

5

18

+50×

8

18

+60×

4

18

=

145

3

．…（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．解題時要認真審題，仔細解答，注意概率和排列組合知識的靈活運用．