Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|-lnx．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]的最大值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）若a=1，則f（x）=x|x-1|-lnx．
當(dāng)x∈[1，e]時，f（x）=x²-x-lnx，
，
所以f（x）在[1，e]上單調(diào)增，
∴．
（2）由于f（x）=x|x-a|-lnx，x∈（0，+∞）．
（�。┊�(dāng)a≤0時，則f（x）=x²-ax-lnx，
，
令f′（x）=0，得（負(fù)根舍去），
且當(dāng)x∈（0，x₀）時，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（x₀，+∞）時，f′（x）＞0，
所以f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（ⅱ）當(dāng)a＞0時，
①當(dāng)x≥a時，，
令f′（x）=0，得（舍），
若，即a≥1，則f′（x）≥0，
所以f（x）在（a，+∞）上單調(diào)增；
若，即0＜a＜1，則當(dāng)x∈（0，x₁）時，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（x₁，+∞）時，f′（x）＞0，
所以f（x）在區(qū)間上是單調(diào)減，在上單調(diào)增．
②當(dāng)0＜x＜a時，，
令f′（x）=0，得-2x²+ax-1=0，記△=a²-8，
若△=a²-8≤0，即，則f′（x）≤0，
故f（x）在（0，a）上單調(diào)減；
若△=a²-8＞0，即，
則由f′（x）=0得，，且0＜x₃＜x₄＜a，
當(dāng)x∈（0，x₃）時，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（x₃，x₄）時，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（x₄，+∞）時，f′（x）＞0，
所以f（x）在區(qū)間上是單調(diào)減，在上單調(diào)增；在上單調(diào)減．
綜上所述，當(dāng)a＜1時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；
當(dāng)時，f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是（0，a），單調(diào)的遞增區(qū)間是（a，+∞）；
當(dāng)時，f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是（0，）和，單調(diào)的遞增區(qū)間是和（a，+∞）．
（3）函數(shù)f（x）的定義域為x∈（0，+∞）．
由f（x）＞0，得．*
（�。┊�(dāng)x∈（0，1）時，|x-a|≥0，，不等式*恒成立，所以a∈R；
（ⅱ）當(dāng)x=1時，|1-a|≥0，，所以a≠1；
（ⅲ）當(dāng)x＞1時，不等式*恒成立等價于恒成立或恒成立．
令，則．
因為x＞1，所以h'（x）＞0，從而h（x）＞1．
因為恒成立等價于a＜（h（x））_min，所以a≤1．
令，則．
再令e（x）=x²+1-lnx，則在x∈（1，+∞）上恒成立，e（x）在x∈（1，+∞）上無最大值．
綜上所述，滿足條件的a的取值范圍是（-∞，1）．
分析：（1）當(dāng)a=1時，利用導(dǎo)數(shù)可判斷f（x）在[1，e]上的單調(diào)性，由單調(diào)性即可求得其最大值；
（2）求出f（x）的定義域，先按（�。゛≤0，（ⅱ）a＞0兩種情況進(jìn)行討論，其中a＞0時討論去絕對值符號，利用導(dǎo)數(shù)符號即可判斷單調(diào)性；
（3）函數(shù)f（x）的定義域為x∈（0，+∞），f（x）＞0，即．根據(jù)的符號對x進(jìn)行分類討論：x∈（0，1）時，當(dāng)x=1時，當(dāng)x＞1時，其中x＞1時去掉絕對值符號轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值即可解決．
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值及函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，綜合性強(qiáng)，難度大，對能力要求較高．