【題目】三棱錐中，頂點在底面的投影為的內(nèi)心，三個側(cè)面的面積分別為12，16，20，且底面面積為24，則三棱錐的內(nèi)切球的表面積為（ ）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

若設在底面的投影為，分別作于點，于點，于點，則．依題意，為的內(nèi)心，則，故，再利用三個側(cè)面的面積分別為12，16，20，可得，從而求出，然后求內(nèi)切圓半徑，再求出三棱錐的體積，再用，可求出內(nèi)切球的半徑，從而可求出內(nèi)切球的表面積.

解法一：不妨設

設在底面的投影為，分別作于點，于點，于點，則．依題意，為的內(nèi)心，則，故，

又，，，

所以，所以．

令．

所以，解得，所以．

設內(nèi)切圓半徑為，則，即，解得，故．

由，得，

所以，

所以，

設三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則

，即，解得，所以三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，故選C．

解法二：不妨設

設在底面的投影為，分別作于點，于點，于點，則．依題意，為的內(nèi)心，則，

故，且，記為．

所以，故，

所以，所以．

又，，

，

所以，所以．

令．

所以，解得，所以．

設內(nèi)切圓半徑為，由直角三角形內(nèi)切圓半徑公式得．

由題意知三棱錐內(nèi)切球的球心在上，設為點．由條件知點也在的角平分線上，所以內(nèi)切球半徑，所以三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，

故選：C

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

（1）曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；

（2）求曲線上的點到直線的距離的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】經(jīng)統(tǒng)計某射擊運動員隨機射擊一次命中目標的概率為，為估計該運動員射擊4次恰好命中3次的概率，現(xiàn)采用隨機模擬的方法，先由計算機產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，用0，1，2表示沒有擊中，用3，4，5，6，7，8，9表示擊中，以4個隨機數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：

9597，7424，7610，4281，7520，0293，7140，9857，0347，4373，

0371，6233，2616，8045，6011，3661，8638，7815，1457，5550．

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，則可估計該運動員射擊4次恰有3次命中的概率為（ ）．

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），曲線的極坐標方程為，點是與的一個交點，其極坐標為.設射線與曲線相交于，兩點，與曲線相交于，兩點.

（1）求，的值；

（2）求的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某中學高三年級在返校復學后，為了做好疫情防護工作，一位防疫督察員要將2盒完全相同的口罩和3盒完全相同的普通醫(yī)用口罩全部分配給3個不同的班，每個班至少分得一盒，則不同的分法種數(shù)是（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某省年開始將全面實施新高考方案．在門選擇性考試科目中，物理、歷史這兩門科目采用原始分計分；思想政治、地理、化學、生物這4門科目采用等級轉(zhuǎn)換賦分，將每科考生的原始分從高到低劃分為，，，，共個等級，各等級人數(shù)所占比例分別為、、、和，并按給定的公式進行轉(zhuǎn)換賦分．該省組織了一次高一年級統(tǒng)一考試，并對思想政治、地理、化學、生物這4門科目的原始分進行了等級轉(zhuǎn)換賦分．

（1）某校生物學科獲得等級的共有10名學生，其原始分及轉(zhuǎn)換分如下表：

原始分

91

90

89

88

87

85

83

82

轉(zhuǎn)換分

100

99

97

95

94

91

88

86

人數(shù)

1

1

2

1

2

1

1

1

現(xiàn)從這10名學生中隨機抽取3人，設這3人中生物轉(zhuǎn)換分不低于分的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；

（2）假設該省此次高一學生生物學科原始分服從正態(tài)分布．若，令，則，請解決下列問題：

①若以此次高一學生生物學科原始分等級的最低分為實施分層教學的劃線分，試估計該劃線分大約為多少分？（結(jié)果保留為整數(shù)）

②現(xiàn)隨機抽取了該省名高一學生的此次生物學科的原始分，若這些學生的原始分相互獨立，記為被抽到的原始分不低于分的學生人數(shù)，求取得最大值時的值．

附：若，則，．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，且.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）在函數(shù)的圖象上任意取定兩點，，記直線的斜率為，求證：存在唯一，使得成立.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品合格的概率均為，現(xiàn)工廠為提高產(chǎn)品聲譽，要求在交付用戶前每件產(chǎn)品都通過合格檢驗，已知該工廠的檢驗儀器一次最多可檢驗件該產(chǎn)品，且每件產(chǎn)品檢驗合格與否相互獨立．若每件產(chǎn)品均檢驗一次，所需檢驗費用較多，該工廠提出以下檢驗方案：將產(chǎn)品每個（）一組進行分組檢驗，如果某一組產(chǎn)品檢驗合格，則說明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格，若檢驗不合格，則說明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品，再對該組內(nèi)每一件產(chǎn)品單獨進行檢驗，如此，每一組產(chǎn)品只需檢驗一次或次．設該工廠生產(chǎn)件該產(chǎn)品，記每件產(chǎn)品的平均檢驗次數(shù)為．

（1）的分布列及其期望；

（2）（i）試說明，當越大時，該方案越合理，即所需平均檢驗次數(shù)越少；

（ii）當時，求使該方案最合理時的值及件該產(chǎn)品的平均檢驗次數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】正態(tài)分布有極其廣泛的實際背景，生產(chǎn)與科學實驗中很多隨機變量的概率分布都可以近似地用正態(tài)分布來描述.例如，同一種生物體的身長、體重等指標.隨著“綠水青山就是金山銀山”的觀念不斷的深入人心，環(huán)保工作快速推進，很多地方的環(huán)境出現(xiàn)了可喜的變化.為了調(diào)查某水庫的環(huán)境保護情況，在水庫中隨機捕撈了100條魚稱重.經(jīng)整理分析后發(fā)現(xiàn)，魚的重量x（單位：kg）近似服從正態(tài)分布，如圖所示，已知.

（Ⅰ）若從水庫中隨機捕撈一條魚，求魚的重量在內(nèi)的概率；

（Ⅱ）（�。⿵牟稉频�100條魚中隨機挑出6條魚測量體重，6條魚的重量情況如表.

重量范圍（單位：kg）

條數(shù)

1

3

2

為了進一步了解魚的生理指標情況，從6條魚中隨機選出3條，記隨機選出的3條魚中體重在內(nèi)的條數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；

（ⅱ）若將選剩下的94條魚稱重做標記后立即放生.兩周后又隨機捕撈1000條魚，發(fā)現(xiàn)其中帶有標記的有2條.為了調(diào)整生態(tài)結(jié)構(gòu)，促進種群的優(yōu)化，預備捕撈體重在內(nèi)的魚的總數(shù)的40%進行出售，試估算水庫中魚的條數(shù)以及應捕撈體重在內(nèi)的魚的條數(shù).

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