【題目】如圖所示,四棱錐PABCD中,平面PAD⊥平面ABCDPAPD,四邊形ABCD為等腰梯形,BCAD,BCCDAD1,EPA的中點.

1)求證:EB∥平面PCD;

2)求平面PAC與平面PCD所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析 (2)

【解析】

1)取AD中點F,連結(jié)EF、BF,推導出BFCDEFPD,從而平面BEF∥平面PCD,由此能證明EB∥平面PCD

2)連結(jié)PF,則PF⊥平面ABCD,四邊形BCDF是邊長為1的菱形,△ABF是邊長為1的等邊三角形,以F為原點,在平面ABCD中過FAD的垂線為x軸,FDy軸,FPz軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出平面PAC與平面PCD所成角的余弦值.

1)證明:取AD中點F,連結(jié)EFBF,

BCAD,BCCDAD1EPA的中點,

BFCDEFPD,

BFEFFCDPDD,

∴平面BEF∥平面PCD,

EB平面BEF,∴EB∥平面PCD

2)解:連結(jié)PF,∵四棱錐PABCD中,平面PAD⊥平面ABCDPAPD,

四邊形ABCD為等腰梯形,BCAD,BCCDAD1,EPA的中點.

PF⊥平面ABCD,四邊形BCDF是邊長為1的菱形,△ABF是邊長為1的等邊三角形,

F為原點,在平面ABCD中過FAD的垂線為x軸,FDy軸,FPz軸,建立空間直角坐標系,

P0,01),A0,﹣1,0),C,,0),D0,1,0),

0,﹣1,﹣1),,,﹣1),01,﹣1),

設平面PAC的法向量x,y,z),

,取y1,得,1,﹣1),

設平面PCD的法向量x,yz),

,取y1,得,1,1),

設平面PAC與平面PCD所成角為θ,

cosθ

∴平面PAC與平面PCD所成角的余弦值為

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