Question

給出下列命題：
①函數(shù)y=sin（

3π

2

+x）是偶函數(shù)；
②函數(shù)y=cos（2x+

π

4

）圖象的一條對(duì)稱軸方程為x=

π

8

；
③對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0時(shí)，f′（x）＞0，g′（x）＞0，則x＜0時(shí)，f′（x）＞g′（x）；
④若對(duì)?x∈R，函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=-f（x），則4是該函數(shù)的一個(gè)周期．
其中真命題的個(gè)數(shù)為

3

．

Answer 1

分析：對(duì)于①，利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)再利用偶函數(shù)的定義判斷出①正確；對(duì)于②，通過整體角處理的方法求出對(duì)稱軸判斷出②不正確；對(duì)于③；根據(jù)奇偶性的定義判斷出兩個(gè)函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)一步得到③正確；對(duì)于④，通過仿寫等式得到f（x+4）=f（x）得到4是該函數(shù)的一個(gè)周期．得到④正確．

解答：解：對(duì)于①，因?yàn)閥=sin（

3π

2

+x）=-cosx，是偶函數(shù)；故①正確；
對(duì)于②，因?yàn)楹瘮?shù)y=cos（2x+

π

4

）圖象的對(duì)稱軸方程為2x+

π

4

=kπ，因?yàn)閤=

π

8

不滿足對(duì)稱軸方程；故②不正確；
對(duì)于③；由于對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
所以f（x）為奇函數(shù)；g（x）為偶函數(shù)；
又因?yàn)閤＞0時(shí)，f′（x）＞0，g′（x）＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
所以f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增；g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減；
所以x＜0時(shí)，f′（x）＞0；g′（x）＜0；
則x＜0時(shí)，f′（x）＞g′（x）；故③正確；
對(duì)于④，對(duì)?x∈R，函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=-f（x），所以f（x+4）=-f（x+2），所以f（x+4）=f（x）
所以4是該函數(shù)的一個(gè)周期．故④正確；
所以①③④為真命題，
故答案為：3

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及利用整體角處理的方法求三角函數(shù)的性質(zhì)；考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系，屬于一道中檔題．