Question

(本小題12分) 將圓O: 上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半 (橫坐標(biāo)不變), 得到曲線、拋物線的焦點(diǎn)是直線y＝x－1與x軸的交點(diǎn).
(1)求，的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)請(qǐng)問(wèn)是否存在直線滿(mǎn)足條件：① 過(guò)的焦點(diǎn);②與交于不同兩
點(diǎn),,且滿(mǎn)足？若存在，求出直線的方程; 若不存在,說(shuō)明
理由．

Answer 1

(1) 的方程為：， 的方程為：。
（2）或．

試題分析：（1）設(shè)點(diǎn), 點(diǎn)M的坐標(biāo)為,由題意可知得到關(guān)系式。
（2）假設(shè)存在這樣的直線，設(shè)其方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理和向量數(shù)量積得到。
解：(1)設(shè)點(diǎn), 點(diǎn)M的坐標(biāo)為,由題意可知
又∴.
所以, 的方程為的方程為：．
綜上，的方程為：， 的方程為：。
（2）假設(shè)存在這樣的直線，設(shè)其方程為，兩交點(diǎn)坐標(biāo)為，
由消去，得，
①

，②
，③
將①②代入③得，解得
所以假設(shè)成立，即存在直線滿(mǎn)足條件，且的方程為或．
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能利用圖像變換準(zhǔn)確得到曲線的方程然后利用向量的數(shù)量積來(lái)求解得到參數(shù)的值。