已知平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，AB=4，AD=3，AA′=5，∠BAD=90°，∠BAA′=∠DAA′=60°，
（1）求AC′的長(zhǎng)；（如圖所示）
（2）求
AC/
與
AC
的夾角的余弦值．
分析：（1）可得
AC′
=
AC
+
CC′
=
AB
+
AD
+
AA′
，由數(shù)量積的運(yùn)算可得|
AC′
|2，開方可得；（2）由（1）可知|
AC′
|，又可求|
AC
|和
AC
′•
AC
，代入夾角公式可得．
解答：解：（1）可得
AC′
=
AC
+
CC′
=
AB
+
AD
+
AA′
，
故|
AC′
|2=|
AB
+
AD
+
AA′
|2=
AB
2+
AD
2+
AA′
2
+2（
AB
•
AD
+
AB
•
AA′
+
AD
•
AA′
）
=42+32+52+2（4×3×0+4×5×
1
2
+3×5×
1
2
）=85
故AC′的長(zhǎng)等于|
AC′
|=
85

（2）由（1）可知
AC′
=
AB
+
AD
+
AA′
，|
AC′
|=
85

故
AC
′•
AC
=（
AB
+
AD
+
AA′
）•（
AB
+
AD
）
=
AB
2+2
AB
•
AD
+
AD
2+
AA′
•
AB
+
AA′
•
AD

=42+2×4×3×0+32+5×4×
1
2
+5×3×
1
2
=
85
2

又|
AC
|=
(
AB
+
AD
)2
=
AB
2+2
AB
•
AD
+
AD
2
=
42+0+32
=5
故
AC/
與
AC
的夾角的余弦值=
AC
′•
AC
|
AC′
||
AC
|
=
85
2
85
×5
=
85
10
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間向量的模長(zhǎng)和夾角的余弦值的運(yùn)算，化向量為
AB
，
AD
，
AA′
是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體ABC-A1B1C1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面中心，且A1在底面ABCD上的射影為O．
（1）求證：平面O1DC⊥平面ABCD；
（2）若點(diǎn)E、F分別在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，問F在何處時(shí)，EF⊥AD？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1．
（I）若G為△ABC的重心，
A1M
=3
MG
，設(shè)
AB
=a，
AD
=b，
AA1
=c，用向量a、b、c表示向量
A1M
；
（II）若平行六面體ABCD-A1B1C1D1各棱長(zhǎng)相等且AB⊥平面BCC1B1，E為CD中點(diǎn)，AC1∩BD1=O，求證；OE⊥平面ABC1D1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知平行六面體ABC-A1B1C1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面中心，且A1在底面ABCD上的射影為O．
（1）求證：平面O1DC⊥平面ABCD；
（2）若點(diǎn)E、F分別在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，問F在何處時(shí)，EF⊥AD？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1．
（I）若G為△ABC的重心，數(shù)學(xué)公式，設(shè)數(shù)學(xué)公式，用向量a、b、c表示向量數(shù)學(xué)公式；
（II）若平行六面體ABCD-A1B1C1D1各棱長(zhǎng)相等且AB⊥平面BCC1B1，E為CD中點(diǎn)，AC1∩BD1=O，求證；OE⊥平面ABC1D1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年安徽省蕪湖一中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知平行六面體ABC-A1B1C1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面中心，且A1在底面ABCD上的射影為O．
（1）求證：平面O1DC⊥平面ABCD；
（2）若點(diǎn)E、F分別在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，問F在何處時(shí)，EF⊥AD？

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