Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=1，且AB⊥AC，M是CC₁的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線A₁B₁上，且滿足

A1P

=λ

A1B1

．
（1）證明：PN⊥AM；
（2）當(dāng)λ取何值時(shí)，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求該角最大值的正切值．

Answer 1

分析：（1）以AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，分別求出

PN

與

AM

的坐標(biāo)，要證PN⊥AM，只需求證它們的數(shù)量積為零即可；
（2）過P作PE⊥AB于E，連接EN，則∠PNE為直線PN與平面ABC所成的角θ，求出此角的正切值，然后研究其最大值即可求出λ的值．

解答：解：（1）以AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz
則（λ，0，1），N（

1

2

，

1

2

，0），M（0，1，

1

2

）
從而

PN

=（

1

2

-λ，

1

2

，-1），

AM

=（0，1，

1

2

）

PN

•

AM

=（

1

2

-λ）×0+

1

2

×1-1×

1

2

=0
所以PN⊥AM（6分）

（2）過P作PE⊥AB于E，連接EN，則PE⊥面ABC，
則∠PNE為所求角θ，
所以tanθ=

PE

EN

=

1

EN

，因?yàn)楫?dāng)E在AB中點(diǎn)時(shí)，ENmin=

1

2

．（tanθ）_max=2
此時(shí)，λ=

1

2

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面所成的角，以及直線與平面垂直的性質(zhì)，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．