Question

【題目】定義：對于數列，如果存在常數，使對任意正整數，總有成立，那么我們稱數列為“﹣擺動數列”．

（1）設，，，判斷數列、是否為“﹣擺動數列”，并說明理由；

（2）已知“﹣擺動數列”滿足：，．求常數的值；

（3）設，，且數列的前項和為．求證：數列是“﹣擺動數列”，并求出常數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）數列不是“﹣擺動數列”，數列是“﹣擺動數列”，理由見解析；（2）；（3）證明見解析，的取值范圍是

【解析】

(1)根據定義分析是否存在滿足條件，由此判斷、是否為“擺動數列”；

(2)根據定義分析奇數、偶數項的情況，再根據遞推關系構造不等式，從而可求解出的取值范圍；

(3)先分析存在值滿足“擺動數列”，然后即可分奇偶項討論的取值范圍.

（1）假設數列是“﹣擺動數列”，

即存在常數，總有對任意成立，

不妨取時則，取時則，顯然常數不存在，

∴數列不是“﹣擺動數列”；

由，于是對任意成立，其中．

∴數列是“﹣擺動數列”．

（2）由數列為“﹣擺動數列”，，

即存在常數，使對任意正整數，總有成立；

即有成立．

則，

∴．

同理．

∴，解得即．

同理，解得；即．

綜上．

（3）證明：由，

顯然存在，使對任意正整數，總有成立，

∴數列是“﹣擺動數列”；

當為奇數時遞減，∴，只要即可，

當為偶數時遞增，，只要即可，

綜上，的取值范圍是．