Question

已知圓C1：x2+y2-2x-4y+4=0
（Ⅰ）若直線l：x+2y-4=0與圓C₁相交于A，B兩點(diǎn)．求弦AB的長(zhǎng)；
（Ⅱ）若圓C₂經(jīng)過(guò)E（1，-3），F(xiàn)（0，4），且圓C₂與圓C₁的公共弦平行于直線2x+y+1=0，求圓C₂的方程．
（Ⅲ）求證：不論實(shí)數(shù)λ取何實(shí)數(shù)時(shí)，直線l₁：2λx-2y+3-λ=0與圓C₁恒交于兩點(diǎn)，并求出交點(diǎn)弦長(zhǎng)最短時(shí)直線l₁的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過(guò)圓心到直線的距離，半徑，半弦長(zhǎng)滿足勾股定理，求出弦AB的長(zhǎng)；
（Ⅱ）法一：設(shè)出圓C₂的方程，利用直線的平行的充要條件，以及圓經(jīng)過(guò)的兩個(gè)點(diǎn)得到方程組求法即可．
法二：設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用圓經(jīng)過(guò)的兩個(gè)點(diǎn)距離相等，圓心的連線與弦長(zhǎng)所在在垂直，列出方程組即可求出圓的方程．
（Ⅲ）求出直線l₁：2λx-2y+3-λ=0恒過(guò)的定點(diǎn)在圓C₁內(nèi)，判斷弦長(zhǎng)最短時(shí)直線l₁的斜率，然后求出方程．

解答：解：（Ⅰ）圓C1：x2+y2-2x-4y+4=0化為（x-1）²+（y-2）²=9，圓心坐標(biāo)（1，2），半徑為：r=3．
圓心到直線l的距離 d=

|1+4-4|

1+22

=

5

5

，-------------------（2分），
圓心到直線的距離d，半徑r，半弦長(zhǎng)滿足勾股定理，
所以|AB|=2

1- 1 5

=

4 5

5

．-----------------------------（4分）
（Ⅱ）解法一：設(shè)圓C₂的一般方程為：x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則公共弦所在的直線方程為：（D+2）x+（E+2）y+F=0，
所以

D+2

2

=

E+4

1

，即D=2E+6---------------------------------（6分）
又因?yàn)閳AC₂經(jīng)過(guò)E（1，-3），F(xiàn)（0，4），
所以

1+9+D-3E+F=0 16+4E+F=0 D=2E+6

⇒

D=6 E=0 F=-16.

---（8分）
所以圓C₂的方程為x²+y²+6x-16=0．---------------------------（10分）
解法二：設(shè)圓C₂的圓心C₂的坐標(biāo)為（a，b），
則有

(a-1)2+(b+3)2 = (a-0)2+(b-4)2 b-2 a-1 •(-2)=-1

-------------------（6分）
解得

a=-3 b=0

---------------------（8分）
設(shè)圓C₂的半徑r2=

(-3-1)2+(0+3)2

=5
所以圓C₂的方程為（x+3）²+y²=25---------------------（10分）
（Ⅲ）將直線l₁：2λx-2y+3-λ=0方程整理為：
λ（2x-1）-（2y-3）=0對(duì)于λ∈R恒成立，
所以

2x-1=0 2y-3=0

，即直線l₁恒過(guò)定點(diǎn)P(

1

2

，

3

2

)，------------------（12分）
由圓心C₁（1，2），半徑為1．
PC1=

( 1 2 -1)2+( 3 2 -2)2

=

2 2

＜1P(

1

2

，

3

2

)恒在圓C₁內(nèi)，
所以不論實(shí)數(shù)λ取何實(shí)數(shù)時(shí)，直線l₁：2λx-2y+3-λ=0與圓C₁恒交于兩點(diǎn)-----（14分）
直線l₁與圓C₁恒交點(diǎn)弦長(zhǎng)最短時(shí)，l₁⊥PC₁kPC1=1，直線l₁的斜率為k₁=-1
所以直線l₁的方程為x+y-2=0，即為所求．----------------（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程的求法圓與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．