Question

已知一隧道的截面是一個(gè)半橢圓面（如圖所示），要保證車(chē)輛正常通行，車(chē)頂離隧道頂部至少要有0.5米的距離，現(xiàn)有一貨車(chē)，車(chē)寬4米，車(chē)高2.5米。
（1）若此隧道為單向通行，經(jīng)測(cè)量隧道的跨度是10米，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)隧道才能保證此貨車(chē)正常通行？（2）圓可以看作是長(zhǎng)軸短軸相等的特殊橢圓，類(lèi)比圓面積公式，請(qǐng)你推測(cè)橢圓（a>b>0）的面積公式，并問(wèn)，當(dāng)隧道為雙向通行（車(chē)道間的距離忽略不記）時(shí)，要使此貨車(chē)安全通過(guò)，應(yīng)如何設(shè)計(jì)隧道，才會(huì)使同等隧道長(zhǎng)度下開(kāi)鑿的土方量最��？

Answer 1

解：以長(zhǎng)軸所在直線(xiàn)為x軸，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)截口曲線(xiàn)所在橢圓的方程為；
（1）由題知，，且橢圓過(guò)點(diǎn)（2，3），得，
故隧道頂部離地面至少米；
（2）猜測(cè)橢圓面積公式為，
橢圓過(guò)點(diǎn)（4，3），即，
當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，所以設(shè)計(jì)時(shí)在同等長(zhǎng)度下會(huì)使開(kāi)挖土方最少。