【題目】已知等差數(shù)列{an}滿足an+1>an , a1=1,且該數(shù)列的前三項分別加上1,1,3后順次成為等比數(shù)列{bn}的前三項.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)令cn=anbn , 求數(shù)列{cn}的前n項和Sn

【答案】
(1)解:設d、q分別為數(shù)列{an}、{bn}的公差與公比.

由題意知,a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分別加上1,1,3后

得2,2+d,4+2d是等比數(shù)列{bn}的前三項,

∴(2+d)2=2(4+2 d),解得:d=±2.

又∵an+1>an,∴d>0,∴d=2,

∴an=2n﹣1(n∈N*),

由此可得b1=2,b2=4,q=2,

∴bn=2n(n∈N*


(2)解:由(1)可得cn=anbn=(2n﹣1)2n,

∴前n項和Sn=12+322+523+…+(2n﹣1)2n,

∴2Sn=122+323+524+…+(2n﹣1)2n+1,

相減得﹣Sn=2+2(22+23+…+2n)﹣(2n﹣1)2n+1,

=2+2 ﹣(2n﹣1)2n+1,

化簡可得Sn=(2n﹣3)2n+1+6


【解析】(1)設d、q分別為數(shù)列{an}、{bn}的公差與公比.由a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分別加上1,1,3后得2,2+d,4+2d是等比數(shù)列{bn}的前三項,可得關于d的方程,解出d,可得an , 進而可得b1 , b2 , 公比q,故可得bn;(2)由(1)表示出cn , 利用錯位相減法,結(jié)合等比數(shù)列的求和公式,可求得Sn
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數(shù)列的前n項和的相關知識,掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系,以及對數(shù)列的通項公式的理解,了解如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式.

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