Question

已知雙曲線C與橢圓9x²+25y²=225有相同的焦點，且離心率e=2．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若P為雙曲線右支上一點，F(xiàn)₁、F₂為其焦點，且PF₁⊥PF₂，求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

分析：（1）設雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)，橢圓9x2+25y2=225 可化為 

x2

25

+

y2

9

=1，由此能求出求雙曲線方程．
（2）由已知條件先求出2|PF₁|•|PF₂|=48，由此能求出△PF₁F₂的面積．

解答：解：（1）設雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)
橢圓9x2+25y2=225 可化為 

x2

25

+

y2

9

=1
∴c=

25-9

=4
∵e=

c

a

=2∴a=2
∴b²=c²-a²=16-4=12
∴所求雙曲線方程為 

x2

4

-

y2

12

=1（6分）
（2）由已知得

|PF1|-|PF2 =4                    ① |PF1| 2+|PF2| 2=|F1F2| 2=64   ②

，
②-①²得2|PF₁|•|PF₂|=48
∴|PF₁|•|PF₂|=24
∴S△PF1F2=

1

2

|PF1| • |PF2| =12（12分）

點評：本題主要考查雙曲線標準方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關系，雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點，易錯點是雙曲線的知識體系不牢固．