Question

【題目】如圖，已知底角為45°的等腰梯形ABCD，底邊BC長為12，腰長為4 ，當(dāng)一條垂直于底邊BC（垂足為F）的直線l從左至右移動（與梯形ABCD有公共點(diǎn)）時(shí)，直線l把梯形分成兩部分．

（1）令BF=x（0＜x＜12），試寫出直線右邊部分的面積y與x的函數(shù)解析式；
（2）在（1）的條件下，令y=f（x）．構(gòu)造函數(shù)g（x）= ．
①判斷函數(shù)g（x）在（4，8）上的單調(diào)性；
②判斷函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)是否具有單調(diào)性，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：過點(diǎn)A．D分別作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分別是G，H．

∵ABCD是等腰梯形，底角為45°，AB=4 cm，

∴BG=AG=DH=HC=4cm，

又∵BC=12cm，

∴AD=GH=4cm，

①當(dāng)點(diǎn)F在BG上時(shí)，

即x∈（0，4]時(shí)，f（x）=32﹣ x2；

②當(dāng)點(diǎn)F在GH上時(shí)，

即x∈（4，8]時(shí)，f（x）=8+4（8﹣x）=40﹣4x．

③當(dāng)點(diǎn)F在HC上時(shí)，

即x∈（8，12）時(shí)，y=S五邊形ABFED=S梯形ACD﹣S三角形CEF

f（x）= （12﹣x）2，

∴函數(shù)解析式為f（x）=

（2）解：g（x）= ，

①由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)g（x）在（4，8）上是減函數(shù)．

②雖然g（x）在（0，4）和（4，8）單調(diào)遞減，

但是g（3.9）=24.395，g（4.1）=44.84，

∴g（3.9）＜g（4.1）．

因此函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性．

【解析】（1）可以通過分類討論明確圖形的特征，再根據(jù)圖形形狀求出函數(shù)的解析式；（2）可以求出函數(shù)g（x）的解析式，①由解析式即可得到判斷函數(shù)的單調(diào)性，②分別求出g（3.9）=24.395，g（4.1）=44.84，比較即可．