Question

如圖，已知平面α∥平面β∥平面γ，且β位于α與γ之間．點A、D∈α，C、F∈γ，
AC∩β=B，DF∩β=E．
（1）求證：

AB

BC

=

DE

EF

；
（2）設AF交β于M，AC≠DF，α與β間距離為h′，α與γ間距離為h，當

h′

h

的值是多少時，△BEM的面積最大？

Answer 1

分析：（1）要證明線段對應成比例，我們可以證明①它們所在的三角形相似，也可以②利用平行線分線段成比例定理，也可以③證明它們都與同一個比例式相等，觀察AB，BC，DE，EF的關系，直接證明有難度，因此可以選擇第三種思路．
（2）求△BEM面積的最大值，要先將△BEM面積表示出來，再結函數(shù)的性質或基本不等式進行求解．

解答：（1）證明：連接BM、EM、BE．
∵β∥γ，平面ACF分別交β、γ于BM、CF，
∴BM∥CF．∴

AB

BC

=

AM

MF

．
同理，

AM

MF

=

DE

EF

．
∴

AB

BC

=

DE

EF

．

（2）解：由（1）知BM∥CF，
∴=

AB

AC

=

h′

h

．
同理，

ME

AD

=

h-h′

h

．
∴S_△BEM=

1

2

CF•AD

h′

h

（1-

h′

h

）sin∠BME．
據(jù)題意知，AD與CF是異面直線，只是β在α與γ間變化位置．
故CF、AD是常量，
sin∠BME是AD與CF所成角的正弦值，也是常量，
令h′：h=x．顯然當x=

1

2

，即

h′

h

=

1

2

時，y=-x²+x有最大值．
∴當

h′

h

=

1

2

，即β在α、γ兩平面的中間時，S_△BEM最大．

點評：要證明線段對應成比例，我們可以證明①它們所在的三角形相似，也可以②利用平行線分線段成比例定理，也可以③證明它們都與同一個比例式相等．如果已知的線段與圓的切、割有關，也可利用與圓相關的線段比例，如切線長定理、相交弦定理、切割線定理等列出線段的關系式．