Question

【題目】已知集合Rn={X|X=（x1 ， x2 ， …，xn），xi∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）．對于A=（a1 ， a2 ， …，an）∈Rn ， B=（b1 ， b2 ， …，bn）∈Rn ， 定義A與B之間的距離為d（A，B）=|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…|an﹣bn|= ．
（Ⅰ）寫出R2中的所有元素，并求兩元素間的距離的最大值；
（Ⅱ）若集合M滿足：MR3 ， 且任意兩元素間的距離均為2，求集合M中元素個數(shù)的最大值并寫出此時的集合M；
（Ⅲ）設集合PRn ， P中有m（m≥2）個元素，記P中所有兩元素間的距離的平均值為 ，證明 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）R2={（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}，A，B∈R2 ， d（A，B）max=2．
（Ⅱ）R3中含有8個元素，可將其看成正方體的8個頂點，已知集合M中的元素所對應的點，應該兩兩位于該正方體面對角線的兩個端點，所以M={（0，0，0），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}
或M={（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0），（1，1，1）}，
集合M中元素個數(shù)最大值為4．
（Ⅲ） ，其中 表示P中所有兩個元素間距離的總和．
設P中所有元素的第i個位置的數(shù)字中共有ti個1，m﹣ti個0，則
由于 （i=1，2，…，n）
所以
從而
【解析】（Ⅰ）根據(jù)集合的定義，寫出R2中的所有元素，并求兩元素間的距離的最大值；（Ⅱ）R3中含有8個元素，可將其看成正方體的8個頂點，已知集合M中的元素所對應的點，應該兩兩位于該正方體面對角線的兩個端點，即可求集合M中元素個數(shù)的最大值并寫出此時的集合M；（Ⅲ） ，其中 表示P中所有兩個元素間距離的總和，根據(jù) ，即可證明結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數(shù)的最值及其幾何意義的相關知識，掌握利用二次函數(shù)的性質（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲担焕�用圖象求函數(shù)的最大（�。┲担焕�用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲担�