Question

【題目】已知圓E：x2+（y﹣ ）2= 經(jīng)過橢圓C： + =1（a＞b＞0）的左右焦點F1 ， F2 ， 且與橢圓C在第一象限的交點為A，且F1 ， E，A三點共線，直線l交橢圓C于M，N兩點，且 =λ （λ≠0）
（1）求橢圓C的方程；
（2）當(dāng)三角形AMN的面積取得最大值時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖圓E經(jīng)過橢圓C的左右焦點F1，F(xiàn)2，

∴c2+（0﹣ ）2= ，解得c= ，

∵F1，E，A三點共線，∴F1A為圓E的直徑，則|AF1|=3，

∴AF2⊥F1F2，∴ = ﹣ =9﹣8=1，

∵2a=|AF1|+|AF2|=3+1=4，∴a=2

由a2=b2+c2得，b= ，

∴橢圓C的方程是 ；

（2）解：由（1）得點A的坐標(biāo)（ ，1），

∵ （λ≠0），∴直線l的斜率為kOA= ，

則設(shè)直線l的方程為y= x+m，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

由 得， ，

∴x1+x2= ，x1x2=m2﹣2，

且△=2m2﹣4m2+8＞0，解得﹣2＜m＜2，

∴|MN|= |x2﹣x1|=

= = ，

∵點A到直線l的距離d= = ，

∴△AMN的面積S= =

= ≤ = ，

當(dāng)且僅當(dāng)4﹣m2=m2，即m= ，直線l的方程為 ．

【解析】（1）由題意把焦點坐標(biāo)代入圓的方程求出c，再由條件得F1A為圓E的直徑求出|AF1|=3，根據(jù)勾股定理求出|AF2|，根據(jù)橢圓的定義和a2=b2+c2依次求出a和b的值，代入橢圓方程即可；（2）由（1）求出A的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線的條件求出直線OA的斜率，設(shè)直線l的方程和M、N的坐標(biāo)，聯(lián)立直線和橢圓方程消去y，利用韋達(dá)定理和弦長公式求出|MN|，由點到直線的距離公式求出點A到直線l的距離，代入三角形的面積公式求出△AMN的面積S的表達(dá)式，化簡后利用基本不等式求出面積的最大值以及對應(yīng)的m，代入直線l的方程即可．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．