Question

如圖，是棱長(zhǎng)為的正方體，、分別是棱、上的動(dòng)點(diǎn)，且．

（1）求證：；
（2）當(dāng)、、、共面時(shí)，求：面與面所成二面角的余弦值．

Answer 1

（1）建立空間坐標(biāo)系，利用向量垂直證明線線垂直；（2）

試題分析：（1）以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系 …1分，則、，設(shè)，則，        2分，
從而、                  3分，
則，所以      5分．
（2）易得，、 ，設(shè)平面的一個(gè)法向量為， …6分
依題意          8分，
所以              9分，
同理平面的一個(gè)法向量為    12分，
由圖知，面與面所成二面角的余弦值    13分．
點(diǎn)評(píng)：求解和證明立體幾何問(wèn)題一方面可以直接利用幾何方法，通過(guò)證明或找到線面之間的關(guān)系，依據(jù)判定定理或性質(zhì)進(jìn)行證明求解.利用空間向量法證明垂直，即證明向量的數(shù)量積等于0；若求二面角則通過(guò)兩個(gè)半平面的法向量的夾角進(jìn)行求解判斷。