Question

已知正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，P、Q分別是BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且|PQ|=，建立如圖所示的坐標(biāo)系.

(1)確定P、Q的位置，使得B₁Q⊥D₁P;

(2)當(dāng)B₁Q⊥D₁P時(shí)，求二面角C₁-PQ-A的正切值.

Answer 1

解:(1)設(shè)BP=t,則

∴B₁(2,0,2),D₁(0,2,2),P(2,t,0),Q(2-2-(2-t)²,2,0).

∴

=(-2,2-t,2).

∵B₁Q⊥D₁P

即-2-2(2-t)+2×2=0,

即=t.

解得t=1.

此時(shí)，P、Q分別是棱BC、CD的中點(diǎn)，即當(dāng)P、Q分別是棱BC、CD的中點(diǎn)時(shí)，B₁Q⊥D₁P.

(2)當(dāng)B₁Q⊥D₁P時(shí)，由(1)知，P、Q分別是棱BC、CD的中點(diǎn)，在正方形ABCD中，PQ∥BD，且AC⊥BD，故AC⊥PQ.

設(shè)AC與PQ的交點(diǎn)為E，連結(jié)C₁E.在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，CC₁⊥底面ABCD，CE是C₁E在底面ABCD內(nèi)的射影，

∴C₁E⊥PQ,即∠C₁EC是二面角C₁PQC的平面角，∠C₁EA是二面角C₁PQA的平面角.

在正方形ABCD中，CE=.

在Rt△C₁EC中，tan∠C₁EC=

∴二面角C₁PQA的正切值為-2.