Question

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AF=1，M是線段EF的中點．
（1）求證AM∥平面BDE；
（2）求點A到平面BDF的距離；
（3）試計算多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

分析：（1）證明AM∥面BDE，只需證明AM∥EG，證明四邊形EGAM為平行四邊形即可；
（2）連接FG，證明AF⊥正方形ABCD，進而可得BD⊥面AFG，從而面BDF⊥面AFG，AO⊥面AFG，由此可求點A到平面BDF的距離；
（3）根據多面體ABCDEF的體積為

1

3

S_ACEF×BD，可得結論．

解答：（1）證明：設AC交BD為G，連接EG，
∵M是線段EF的中點，G是AC的中點，ACEF為矩形
∴四邊形EGAM為平行四邊形，
∴AM∥EG，
∵AM?面BDE，EG?面BDE
∴AM∥面BDE；
（2）解：連接FG，F(xiàn)G∩AM=O，∵AB=

2

，AF=1，∴AFMG為正方形，∴AO⊥FG
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD
∵正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，
∴AF⊥正方形ABCD
∴AF⊥BD
∵AC∩AF=A
∴BD⊥面AFG
∵BD?面BDF
∴面BDF⊥面AFG
∵AO⊥FG
∴AO⊥面AFG
在△AFG中，AF=1，AG=1，∴AO=

2

2

∴點A到平面BDF的距離為

2

2

；
（3）解：多面體ABCDEF的體積為

1

3

S_ACEF×BD=

1

3

×2×1×2=

4

3

點評：本題考查線面平行，點面距離，多面體的體積，掌握線面平行的判斷方法，確定線面線面垂直時關鍵．