Question

（2013•嘉定區(qū)一模）已知雙曲線C的方程為x²-

y2

4

=1，點A（m，2m）和點B（n，-2n）（其中m和n均為正數）是雙曲線C的兩條漸近線上的兩個動點，雙曲線C上的點P滿足

AP

=λ•

PB

（其中λ∈[

1

2

，3]）．
（1）用λ的解析式表示mn；
（2）求△AOB（O為坐標原點）面積的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由A（m，2m），B（-n，2n），根據

AP

=λ•

PB

得P點的坐標代入雙曲線方程化簡整理m，n與λ的關系式；
（2）設∠AOB=2θ，進而根據直線的斜率求得tanθ，進而求得sin2θ，進而表示出|OA|，得到△AOB的面積的表達式，根據λ的范圍求得三角形面積的最大值和最小值，△AOB面積的取值范圍可得．

解答：解：（1）由已知，點A（m，2m）和點B（n，-2n），設P（x，y）
由

AP

=λ•

PB

，得

x= m+λn 1+λ y= 2m-2λn 1+λ

，故P點的坐標為（

m+λn

1+λ

，

2(m-λn)

1+λ

），…（3分）
將P點的坐標代入x²-

y2

4

=1，化簡得，mn=

(1+λ)2

4λ

．…（3分）
（2）設∠AOB=2θ，則tanθ=2，所以sin2θ=

4

5

．…（1分）
又|OA|=

5

m，|OB|=

5

n，
所以S_△AOB=

1

2

|OA||OB|sin2θ=2mn=

1

2

•

(1+λ)2

λ

=

1

2

(λ+

1

λ

)+1，…（3分）
記S（λ）=

1

2

(λ+

1

λ

)+1，λ∈[

1

2

，3]）．
則S（λ）在λ∈[

1

2

，3]）上是減函數，在λ∈[1，3]上是增函數．…（2分）
所以，當λ=1時，S（λ）取最小值2，當λ=3時，S（λ）取最大值

8

3

．
所以△AOB面積的取值范圍是[2，

8

3

]．…（2分）

點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程和直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合分析問題的能力．