Question

（2007•普陀區(qū)一模）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線C過點(diǎn)P（4，4）．過該拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B亮點(diǎn)，點(diǎn)M和N分別為A、B兩點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線l上的射影．準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為E．
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）某學(xué)習(xí)小組在計(jì)算機(jī)動態(tài)數(shù)學(xué)軟件的幫助下，得到了關(guān)于拋物線C性質(zhì)的如下猜想：“直線AN和BM恒相交于原點(diǎn)O”，試證明該結(jié)論是正確的；
（3）該小組孩項(xiàng)研究拋物線C中∠AEB的大小范圍，試通過計(jì)算

EA

•

EB

的結(jié)果來給出一個(gè)你認(rèn)為正確的與∠AEB有關(guān)的推論，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可可設(shè)拋物線的方程y²=2px（p＞0）由拋物線C過點(diǎn)P（4，4）可求p，進(jìn)而可求拋物線方程
（2）可證當(dāng) x₁≠x₂時(shí)，k_OA=k_ON，說明A、O、N三點(diǎn)共線；當(dāng) x₁=x₂時(shí)，不難得到ABNM為矩形，且有對稱性可知點(diǎn)O為對角線AN、BM的交點(diǎn)，所以此時(shí)A、O、N三點(diǎn)共線．
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因?yàn)锳B過焦點(diǎn)F且F（1，0），當(dāng) x₁≠x₂時(shí)，AB所在的直線的方程y=k（x-1），k≠0，代入拋物線方程，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系可求，當(dāng) x₁=x₂時(shí)，AB所在的直線垂直于x軸，不難求得AF=EF=EB=2，故此時(shí)∠AEB=90°

解答：解：（1）由題意可可設(shè)拋物線的方程y²=2px（p＞0）
∵拋物線C過點(diǎn)P（4，4）∴p=2
∴y²=4x
（2）當(dāng) x₁≠x₂時(shí)，k_OA=k_ON，所以此時(shí)A、O、N三點(diǎn)共線；當(dāng) x₁=x₂時(shí)，不難得到ABNM為矩形，且有對稱性可知點(diǎn)O為對角線AN、BM的交點(diǎn)，所以此時(shí)A、O、N三點(diǎn)共線．
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因?yàn)锳B過焦點(diǎn)F且F（1，0），
當(dāng) x₁≠x₂時(shí)，AB所在的直線的方程y=k（x-1），k≠0，代入拋物線方程可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
所以

x1+x2= 2k2+4 k2 x1•x2=1

當(dāng) x₁=x₂時(shí)，AB所在的直線垂直于x軸，不難求得AF=EF=EB=2，故此時(shí)∠AEB=90°
綜上，可提出推論“∠AEB只能是銳角或直角”

點(diǎn)評：本題主要考查了由拋物線的性質(zhì)求解拋物線的方程，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于綜合性試題．