Question

設函數(shù)的圖象過點（-1，2）．
（Ⅰ）試用a表示b；
（Ⅱ）當a=3時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅲ）若a＜0且f（-1）是函數(shù)f（x）的極小值，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數(shù)圖象過點（-1，2），將坐標代入整理可得；
（2）a=3時確定出b=-3，確定出函數(shù)解析式，求出導函數(shù)令其大于零得到增區(qū)間；令其小于零得到減區(qū)間．并求出函數(shù)的極值即可．
（3）求出導函數(shù)的極值點，因為a＜0且f（-1）是函數(shù)f（x）的極小值，比較出兩個駐點的大小列出不等式求出解集即可．
解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)的圖象過點（-1，2）
∴，整理得，a-3b-12=0
故b=；
（Ⅱ）當a=3時，由a-3b-12=0得，b=-3
∴f（x）=x³-3x，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）
令f′（x）=0，解得x₁=-1，x₂=1．
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

故f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-1），（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（-1，1）；極大值是f（-1）=2，極小值是f（1）=-2；
（Ⅲ）f′（x）=ax²+（a+b）x+b=（x+1）（ax+b）
∵a＜0且f（-1）是函數(shù)f（x）的極小值，∴＞-1
又∵a-3b-12=0，∴，∴
解得，a＜-6
故a的取值范圍為（-∞，-6）．
點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力即利用導數(shù)研究函數(shù)極值的能力．