Question

【題目】某中醫(yī)藥研究所研制出一種新型抗癌藥物，服用后需要檢驗(yàn)血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本每個(gè)樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗(yàn)方式：（1）逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)次；（2）混合檢驗(yàn)，將其中份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，若結(jié)果為陰性，則這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只需檢驗(yàn)一次就夠了；若檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這份血液究竟哪份為陽性，就需要對(duì)這份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果總陽性還是陰性都是相互獨(dú)立的，且每份樣本是陽性的概率為．

（1）假設(shè)有6份血液樣本，其中只有兩份樣本為陽性，若采取遂份檢驗(yàn)的方式，求恰好經(jīng)過兩次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率．

（2）現(xiàn)取其中的份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)的方式，樣本需要檢驗(yàn)的次數(shù)為；采用混合檢驗(yàn)的方式，樣本簡要檢驗(yàn)的總次數(shù)為；

（�。┤�，試運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，

（ⅱ）若，采用混合檢驗(yàn)的方式需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望少，求的最大值（，，，，，）

Answer 1

【答案】（1）（2）（ⅰ）．（ⅱ）8

【解析】

（1）利用古典概型的概率求出恰好經(jīng)過兩次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率；

（2）（ⅰ）先求出，再化簡即得解；（ⅱ）由，得到，再利用導(dǎo)數(shù)解不等式得解.

（1）設(shè)“恰好經(jīng)過兩次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來”為事件，則

，

即恰好經(jīng)過兩次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來的事件的概率為．

（2）（�。┯深}意知，取值的可能有1，，

，

，

所以，

由，得，即，所以，

所以關(guān)于的函數(shù)關(guān)系．

（ⅱ）由題意知，，所以，即，

所以，又，所以，

兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得，即，

設(shè)，則，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，

，，

所以的最大值為8．