設無窮等比數(shù)列的公比為q，且，表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)（如）,記，數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）證明： （）的充分必要條件為；
（Ⅲ）若對于任意不超過的正整數(shù)n，都有，證明：.

（Ⅰ）；（Ⅱ）答案詳見解析；（Ⅲ）答案詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）由已知得，，，，又，根據(jù)取整函數(shù)的性質(zhì)，得，，.進而求；（Ⅱ）充分性的證明：因為，且，故，從而；必要性的證明，因為，故，又，，則有；（Ⅲ）已知數(shù)列的前項和（），可求得，由取整函數(shù)得，，故，要證明，只需證明，故可聯(lián)想到，則；
試題解析：（Ⅰ）解：因為等比數(shù)列的，，所以，，.
所以，，.則.
（Ⅱ）證明：（充分性）因為，所以對一切正整數(shù)n都成立.
因為，，所以.
（必要性）因為對于任意的，，
當時，由，得；當時，由，，得.
所以對一切正整數(shù)n都有.因為，，所以對一切正整數(shù)n都有.
（Ⅲ）證明：因為，所以，
.
因為，所以，.由，得.
因為，所以，
所以，即.
考點：1、等比數(shù)列的通項公式；2、數(shù)列前n項和；3、充要條件.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設C1、C2、…、Cn、…是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在軸的正半軸上，且都與直線y＝x相切，對每一個正整數(shù)n，圓Cn都與圓Cn＋1相互外切，以rn表示Cn的半徑，已知{rn}為遞增數(shù)列．

(1)證明：{rn}為等比數(shù)列；
(2)設r1＝1，求數(shù)列的前n項和.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足, 且,其中.
(1) 求數(shù)列的通項公式；
(2) 設數(shù)列滿足,是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有的的值；若不存在，請說明理由。
(3) 令,記數(shù)列的前項和為,其中,證明：。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設為等比數(shù)列，為其前項和，已知.
（1）求的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，
（Ⅰ）求數(shù)列通項公式；
（Ⅱ）若等差數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列滿足：
（1）求的值；
（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（3）令（），如果對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，
（1）若是常數(shù)，問當滿足什么條件時，函數(shù)有最大值，并求出取最大值時的值；
（2）是否存在實數(shù)對同時滿足條件：（甲）取最大值時的值與取最小值的值相同，（乙）？
（3）把滿足條件（甲）的實數(shù)對的集合記作A，設，求使的的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在等比數(shù)列中，，
（1）和公比；
（2）前6項的和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列是各項均不為0的等差數(shù)列，公差為，為其前n項和，且滿足,．數(shù)列滿足,， 為數(shù)列的前項和．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有
的值；若不存在，請說明理由．

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