Question

如圖，在四棱錐p-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4．
（Ⅰ）求證：BD⊥PC；
（Ⅱ）求二面角B-PC-A的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以A為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求出

PC

與

BD

的坐標(biāo)，利用它們的數(shù)量積為零證得BD⊥OC；
（2）易證

BD

為面PAC的法向量，求出面PBC的法向量

n

，然后求出兩法向量的夾角，利用兩平面的法向量的夾角與二面角的平面角相等或互補(bǔ)，即可求得二面角B-PC-A的余弦值．

解答：證明：（Ⅰ）以A為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則B（0，1，0），C（-2，4，0），D（-2，0，0），P（0，0，4），
∴

PC

=(-2，4，-4)，

BD

=(-2，-1，0)，
∴

PC

•

BD

=0
所以PC⊥BD．
（Ⅱ）易證

BD

為面PAC的法向量，
設(shè)面PBC的法向量n=（a，b，c），

PB

=(0，1，-4)，

BC

=(-2，3，0)
所以

n • PB =0 n • BC =0

?

b=4c a=6c

所以面PBC的法向量n=（6，4，1），
∴cosθ=-

16

265

．
因?yàn)槊鍼AC和面PBC所成的角為銳角，
所以二面角B-PC-A的余弦值為

16

265

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．