Question

已知數(shù)列的前項和滿足.
（1）寫出數(shù)列的前三項；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）證明：對任意的整數(shù)，有.

Answer 1

（１）　由由
由
（２）
（３）見解析.

.
（1）因為數(shù)列的前項和滿足，那么對于n令值，邊可以寫出數(shù)列的前三項；
（2）根據(jù)前幾項歸納猜想數(shù)列的通項公式；再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明�；蛘呃锢�用迭代思想，得到通項公式。
（3）利用放縮法得到求和，并證明不等式。
（１）為了計算前三項的值，只要在遞推式中，對取特殊值，就可以消除解題目標(biāo)與題設(shè)條件之間的差異．
　由
由
由
（２）為了求出通項公式，應(yīng)先消除條件式中的．事實上
當(dāng)時，有
 
即有　
從而　
　　　
…… 

接下來，逐步迭代就有


經(jīng)驗證a₁也滿足上式，故知
其實，將關(guān)系式和課本習(xí)題作聯(lián)系，容易想到：這種差異的消除，只要對的兩邊同除以，便得
　　　　　　　　　．
令就有
，
于是        ，
這說明數(shù)列是等比數(shù)列，公比　首項，從而，得
　　　　　，
即　　　　，
故有
（３）由通項公式得
當(dāng)且n為奇數(shù)時， 

當(dāng)為偶數(shù)時，


當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為上面的情景

故任意整數(shù)m>4，有