Question

（本小題滿分12分）設(shè)直線l（斜率存在）交拋物線y²＝2px（p＞0，且p是常數(shù)）于兩個(gè)不同點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足＝x₁x₂＋2（y₁＋y₂）．

   （1）求證：直線l過(guò)定點(diǎn)；

   （2）設(shè)（1）中的定點(diǎn)為P，若點(diǎn)M在射線PA上，滿足，求點(diǎn)M

的軌跡方程．

 

Answer 1

【答案】

（1）直線過(guò)定點(diǎn)（0，2）

（2）點(diǎn)M的軌跡方程為

【解析】解：（I）設(shè)直線的方程為

由                  …………2分

由題知

且                                       …………3分

又

                                                      …………4分

∴直線的斜率k與p之間的關(guān)系為              …………4分

由（I）有                              …………5分

又

                                                      …………7分

則

∴直線的方程為

∴直線過(guò)定點(diǎn)（0，2）                                 …………8分

   （II）分別過(guò)A、M、B向y軸作垂線，垂足分別為

設(shè)，可得

…………10分

即…①          …………12分

將①代入

又                        …②

由①②消去k，得

∴點(diǎn)M的軌跡方程為        …………14分