【題目】平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且）.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）已知點P的極坐標為，Q為曲線上的動點，求的中點M到曲線的距離的最大值.

【答案】（1），.（2）

【解析】

（1）化簡得到，再考慮，利用極坐標方程公式得到答案.

（2）P的直角坐標為，設點，故，代入圓方程得到M在圓心為，半徑為1的圓上，計算得到最大距離.

（1）因為，所以3×①+4×②，得.

又，

所以的普通方程為，

將，代入曲線的極坐標方程，得曲線的直角坐標方程為.

（2）由點P的極坐標，可得點P的直角坐標為.

設點，因為M為的中點，所以

將Q代入的直角坐標方程得，

即M在圓心為，半徑為1的圓上.

所以點M到曲線距離的最大值為，

由（1）知不過點，且，

即直線與不垂直.

綜上知，M到曲線的距離的最大值為.

練習冊系列答案
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【題目】一胸針圖樣由等腰三角形及圓心在中軸線上的圓弧構成，已知，.為了增加胸針的美觀程度，設計師準備焊接三條金絲線且長度不小于長度，設.

（1）試求出金絲線的總長度，并求出的取值范圍；

（2）當為何值時，金絲線的總長度最小，并求出的最小值.

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【題目】某中醫(yī)藥研究所研制出一種新型抗癌藥物，服用后需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本每個樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗方式：（1）逐份檢驗，則需要檢驗次；（2）混合檢驗，將其中份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若結果為陰性，則這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只需檢驗一次就夠了；若檢驗結果為陽性，為了明確這份血液究竟哪份為陽性，就需要對這份再逐份檢驗，此時這份血液的檢驗次數(shù)總共為次假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果總陽性還是陰性都是相互獨立的，且每份樣本是陽性的概率為．

（1）假設有6份血液樣本，其中只有兩份樣本為陽性，若采取遂份檢驗的方式，求恰好經(jīng)過兩次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率．

（2）現(xiàn)取其中的份血液樣本，記采用逐份檢驗的方式，樣本需要檢驗的次數(shù)為；采用混合檢驗的方式，樣本簡要檢驗的總次數(shù)為；

（�。┤�，試運用概率與統(tǒng)計的知識，求關于的函數(shù)關系，

（ⅱ）若，采用混合檢驗的方式需要檢驗的總次數(shù)的期望比逐份檢驗的總次數(shù)的期望少，求的最大值（，，，，，）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列說法正確的是（ ）

A.命題“若，則”的否命題是“若，則”

B.命題“在△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB”的逆命題為假命題.

C.“”是“”的必要不充分條件

D.若“p或q”為真命題，則p，q至少有一個為真命題

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點為F，過F的直線與拋物線交于A，B兩點，點O為坐標原點，則下列命題中正確的個數(shù)為（ ）

①面積的最小值為4；

②以為直徑的圓與x軸相切；

③記，，的斜率分別為，，，則；

④過焦點F作y軸的垂線與直線，分別交于點M，N，則以為直徑的圓恒過定點.

A.1B.2C.3D.4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且）.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）已知點P的極坐標為，Q為曲線上的動點，求的中點M到曲線的距離的最大值.

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【題目】2020年春節(jié)期間，武漢市爆發(fā)了新型冠狀病毒肺炎疫情，在黨中央的堅強領導下，全國人民團結一心，眾志成城，共同抗擊疫情.某中學寒假開學后，為了普及傳染病知識，增強學生的防范意識，提高自身保護能力，校委會在全校學生范圍內(nèi)，組織了一次傳染病及個人衛(wèi)生相關知識有獎競賽(滿分100分)，競賽獎勵規(guī)則如下，得分在內(nèi)的學生獲三等獎，得分在內(nèi)的學生獲二等獎，得分在內(nèi)的學生獲一等獎，其他學生不得獎.教務處為了解學生對相關知識的掌握情況，隨機抽取了100名學生的競賽成績，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖.

（1）現(xiàn)從該樣本中隨機抽取兩名學生的競賽成績，求這兩名學生中恰有一名學生獲獎的概率；

（2）若該校所有參賽學生的成績近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計值，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：

(i)若該校共有10000名學生參加了競賽，試估計參賽學生中成績超過79分的學生數(shù)(結果四舍五入到整數(shù))；

(ii)若從所有參賽學生中(參賽學生數(shù)大于10000)隨機抽取3名學生進行座談，設其中競賽成績在64分以上的學生數(shù)為，求隨機變量的分布列和均值.

附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.

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【題目】如圖，在三棱柱，中，側面是菱形，是中點，平面，平面與棱交于點，．

（1）求證：四邊形為平行四邊形；

（2）若與平面所成角的正弦值為，求的值．

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【題目】某村為了脫貧致富，引進了兩種麻鴨品種，一種是旱養(yǎng)培育的品種，另一種是水養(yǎng)培育的品種．為了了解養(yǎng)殖兩種麻鴨的經(jīng)濟效果情況，從中隨機抽取500只麻鴨統(tǒng)計了它們一個季度的產(chǎn)蛋量（單位：個），制成了如圖的頻率分布直方圖，且已知麻鴨的產(chǎn)蛋量在的頻率為0.66．

（1）求，的值；

（2）已知本次產(chǎn)蛋量近似服從（其中近似為樣本平均數(shù)，似為樣本方差）．若本村約有10000只麻鴨，試估計產(chǎn)蛋量在110~120的麻鴨數(shù)量（以各組區(qū)間的中點值代表該組的取值）．

（3）若以正常產(chǎn)蛋90個為標準，大于90個認為是良種，小于90個認為是次種．根據(jù)統(tǒng)計得出兩種培育方法的列聯(lián)表如下，請完成表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并判斷是否有99.5%的把握認為產(chǎn)蛋量與培育方法有關．

良種

次種

總計

旱養(yǎng)培育

160

260

水養(yǎng)培育

60

總計

340

500

附：，則，，．

，其中．

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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