Question

已知冪函數(shù)y=xⁿ（n=-1，2，3）和橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）有8個(gè)不同的交點(diǎn)，分別為A_i（i=1，2，…，8），F(xiàn)點(diǎn)是橢圓C的右焦點(diǎn)，則8條不同線段A_iF（i=1，2，…，8）中所有兩條線段之和最多有（　�。﹤�(gè)不同的值．

A．28

B．25

C．24

D．20

Answer 1

分析：先作出圖象，根據(jù)組合知識(shí)可得8條線段中所有兩條線段之和有

C

2 8

的值，根據(jù)橢圓及冪函數(shù)的對(duì)稱性可得F′A₁=FA₆，F(xiàn)′A₂=FA₅，F(xiàn)′A₃=FA₇，F(xiàn)′A₄=FA₈，由此可得重復(fù)值的個(gè)數(shù)．

解答：解：作出圖象如圖所示：
易知y=x²關(guān)于y軸對(duì)稱，y=x^-1，y=x³關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
再由橢圓的對(duì)稱性可知，點(diǎn)A₁與A₆、點(diǎn)A₃與A₇、A₄與A₈關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
點(diǎn)A₂與A₅關(guān)于y軸對(duì)稱，
設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F′，則F′A₁=FA₆，F(xiàn)′A₂=FA₅，F(xiàn)′A₃=FA₇，F(xiàn)′A₄=FA₈，
所以FA₁+FA₆=FA₁+F′A₁=2a，F(xiàn)A₂+FA₅=FA₂+F′A₂=2a，F(xiàn)A₃+FA₇=FA₃+F′A₃=2a，F(xiàn)A₄+FA₈=FA₄+F′A₄=2a，
所以8條不同線段A_iF（i=1，2，…，8）中所有兩條線段之和最多有

C

2 8

-3=25個(gè)不同的值，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的對(duì)稱性、定義及冪函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．