Question

某車間為了制作某個(gè)零件，需從一塊扇形的鋼板余料（如圖1）中按照?qǐng)D2的方式裁剪一塊矩形鋼板ABCD，其中頂點(diǎn)B、C在半徑ON上，頂點(diǎn)A在半徑OM上，頂點(diǎn)D在

NM

上，∠MON=

π

6

，ON=OM=1．設(shè)∠DON=θ，矩形ABCD的面積為S．
（Ⅰ）用含θ的式子表示DC、OB的長(zhǎng)；
（Ⅱ）試將S表示為θ的函數(shù)；
（Ⅲ）求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）直接在三角形中利用三角函數(shù)可以表示DC、OB的長(zhǎng)；
（2）S=BC×CD，由（1）可以求出相應(yīng)函數(shù)；
（3）表達(dá)成θ的函數(shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)的最大值，

解答：解：（1）在△ODC中DC=sinθ，在△OAB中，tan

π

6

=

AB

OB

，從而OB=

3

sinθ；
（2）在△ODC中OC=cosθ，從而S=BC×CD=cosθsinθ -

3

sin2θ（0＜θ＜

π

6

）
（3）由S/=-sin2θ+cos2θ-2

3

sinθcosθ=0得tan2θ=

3

3

，由0＜θ＜

π

6

，得θ=

π

12

，易得θ=

π

12

時(shí)，S的最大值為1-

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)，把“問(wèn)題情境”譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，找出問(wèn)題的主要關(guān)系，并把問(wèn)題的主要關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)ふ疫m當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q，再返回到實(shí)際問(wèn)題中加以說(shuō)明．