Question

已知函數(shù)f （x）是定義在R上的奇函數(shù)，若f（x）在區(qū)間[1，a]（a＞2）上單調(diào)遞增，且f （x）＞0，則以下不等式不一定成立的是（　�。�

• A、f （a）＞f （0）
• B、f （

  a+1

  2

  ）＞f （

  a

  ）
• C、f （

  1-3a

  1+a

  ）＞f （-a）
• D、f （

  1-3a

  1+a

  ）＞f （-2）

Answer 1

分析：對(duì)于A，根據(jù)函數(shù)f （x）是定義在R上的奇函數(shù)，可得f（0）=0，利用f （x）在區(qū)間[1，a]（a＞2）上單調(diào)遞增，且f （x）＞0，可得f（a）＞f（0）；
對(duì)于B，利用基本不等式可得

a+1

2

＞

a

，結(jié)合f （x）在區(qū)間[1，a]（a＞2）上單調(diào)遞增，即可得到結(jié)論；
對(duì)于C，先確定1＜

3a-1

1+a

＜a，利用f （x）在區(qū)間[1，a]（a＞2）上單調(diào)遞增，函數(shù)f （x）是定義在R上的奇函數(shù)，即可得到結(jié)論；
對(duì)于D，由a＞2，可得

3a-1

1+a

-2=

a-3

1+a

，分類討論，即可得到結(jié)論．

解答：解：對(duì)于A，∵函數(shù)f （x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，∵f （x）在區(qū)間[1，a]（a＞2）上單調(diào)遞增，且f （x）＞0，∴f（a）＞f（0），即A成立；
對(duì)于B，∵a＞2，∴

a+1

2

＞

a

，∵f （x）在區(qū)間[1，a]（a＞2）上單調(diào)遞增，∴f （

a+1

2

）＞f （

a

），即B成立；
對(duì)于C，∵a＞2，∴

3a-1

1+a

-a=

-(a-1)2

1+a

＜0，∴

3a-1

1+a

＜a
∵

3a-1

1+a

-1=

2(a-1)

1+a

＞0，∴

3a-1

1+a

＞1
∵f （x）在區(qū)間[1，a]（a＞2）上單調(diào)遞增，
∴f（

3a-1

1+a

）＜f（a）
∴-f（

3a-1

1+a

）＞-f（a）
∵函數(shù)f （x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（

1-3a

1+a

）＞f（-a），即C成立；
對(duì)于D，∵a＞2，∴

3a-1

1+a

-2=

a-3

1+a

若2＜a＜3，則

a-3

1+a

＜0，∴

3a-1

1+a

＜2，∵f （x）在區(qū)間[1，a]（a＞2）上單調(diào)遞增，
∴f（

3a-1

1+a

）＜f（2）
∴-f（

3a-1

1+a

）＞-f（2）
∵函數(shù)f （x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（

1-3a

1+a

）＞f（-2），即D成立；
若a≥3，則

a-3

1+a

≥0，∴

3a-1

1+a

≥2，∵f （x）在區(qū)間[1，a]（a＞2）上單調(diào)遞增，
∴f（

3a-1

1+a

）≥f（2）
∴-f（

3a-1

1+a

）≤-f（2）
∵函數(shù)f （x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（

1-3a

1+a

）≤f（-2），即D不成立；
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．