Question

已知y=x³+bx²+（b+2）x+3在R上不是單調函數，則b的取值范圍是________．

Answer 1

（-∞，-1）∪（2，+∞）
分析：根據題意，對y=x³+bx²+（b+2）x+3求導可得，y′=x²+2bx+b+2，結合二次函數的性質分析可得若y=x³+bx²+（b+2）x+3在R上不是單調函數，則其導函數y′=x²+2bx+b+2的最小值必須小于0，即△=（2b）²-4（b+2）＞0，解可得答案．
解答：對于y=x³+bx²+（b+2）x+3，
y′=x²+2bx+b+2，是開口向上的二次函數，
若y=x³+bx²+（b+2）x+3在R上不是單調函數，
則其導函數y′=x²+2bx+b+2的最小值必須小于0，即△=（2b）²-4（b+2）＞0，
解可得，b＜-1或b＞2，
即b的取值范圍是（-∞，-1）∪（2，+∞）；
故答案為（-∞，-1）∪（2，+∞）．
點評：本題考查函數的單調性與其導函數之間的關系，注意分析出該函數在R上不是單調函數的充要條件．