(2011•豐臺(tái)區(qū)二模)張先生家住H小區(qū),他在C科技園區(qū)工作,從家開車到公司上班有L1,L2兩條路線(如圖),L1路線上有A1,A2,A3三個(gè)路口,各路口遇到紅燈的概率均為
1
2
;L2路線上有B1,B2兩個(gè)路口,各路口遇到紅燈的概率依次為
3
4
,
3
5

(Ⅰ)若走L1路線,求最多遇到1次紅燈的概率;
(Ⅱ)若走L2路線,求遇到紅燈次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)按照“平均遇到紅燈次數(shù)最少”的要求,請(qǐng)你幫助張先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線,并說明理由.
關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)問題,幾次考查都沒有將概率與統(tǒng)計(jì)圖表結(jié)合起來,請(qǐng)老師們注意,在復(fù)練時(shí)要有意識(shí)的進(jìn)行練習(xí).
分析:(Ⅰ)設(shè)走L1路線最多遇到1次紅燈為A事件,再根據(jù)題意求出其發(fā)生的概率為P(A)=
C
0
3
×(
1
2
)3+
C
1
3
×
1
2
×(
1
2
)2=
1
2
,即可得到答案.
(Ⅱ)依題意,X的可能取值為0,1,2.結(jié)合題意分別求出其發(fā)生的概率,即可得到隨機(jī)變量X的分布列,進(jìn)而求出X的期望.
(Ⅲ)根據(jù)題意可得:選擇L1路線遇到紅燈次數(shù)為Y,并且隨機(jī)變量Y服從二項(xiàng)分布Y~B(3,
1
2
)
,即可根據(jù)有關(guān)公式求出Y的數(shù)學(xué)期望,進(jìn)而能夠做出正確的選擇.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)走L1路線最多遇到1次紅燈為A事件,
P(A)=
C
0
3
×(
1
2
)3+
C
1
3
×
1
2
×(
1
2
)2=
1
2
.                                  …(4分)
所以走L1路線,最多遇到1次紅燈的概率為
1
2

(Ⅱ)依題意,X的可能取值為0,1,2.  …(5分)
所以P(X=0)=(1-
3
4
)×(1-
3
5
)=
1
10
,P(X=1)=
3
4
×(1-
3
5
)+(1-
3
4
3
5
=
9
20
,P(X=2)=
3
4
×
3
5
=
9
20
.                                   …(8分)
所以隨機(jī)變量X的分布列為:
X 0 1 2
P
1
10
9
20
9
20
所以EX=
1
10
×0+
9
20
×1+
9
20
×2=
27
20
.                                  …(10分)
(Ⅲ)設(shè)選擇L1路線遇到紅燈次數(shù)為Y,隨機(jī)變量Y服從二項(xiàng)分布,Y~B(3,
1
2
)
,
所以EY=3×
1
2
=
3
2
.                                                 …(12分)
因?yàn)镋X<EY,所以選擇L2路線上班最好.                             …(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查互斥事件的概率與相互獨(dú)立事件的概率,以及考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望,是一個(gè)和實(shí)際生活結(jié)合比較緊密的問題,此題屬于中檔題型,是高考命題的趨向.
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(2011•豐臺(tái)區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),若?x1∈[-1,2],?x2∈[-1,2],使得f(x1)=g(x2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。

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y
=0.95x+a
,則a=( 。
x 0 1 3 4
y 2.2 4.3 4.8 6.7

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(2011•豐臺(tái)區(qū)二模)如圖所示,已知
AB
=2
BC
,
OA
=
a
,
OB
=
b
OC
=
c
,則下列等式中成立的是( 。

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