Question

過(guò)拋物線y²=2x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線交于兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于2，則這樣的直線（　�。�

• A、有且只有一條
• B、有且只有兩條
• C、有且只有三條
• D、有且只有四條

Answer 1

分析：過(guò)拋物線y²=2x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，先看直線AB斜率不存在時(shí)，橫坐標(biāo)之和等于1，不適合；若直線斜率存在時(shí)，利用橫坐標(biāo)之和等于2，進(jìn)而設(shè)直線AB為y=k（x-1）與拋物線方程聯(lián)立消去y，進(jìn)而根據(jù)偉大定理表示出A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，進(jìn)而求得k．得出結(jié)論．

解答：解：過(guò)拋物線y²=2x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，
若直線AB的斜率不存在，則橫坐標(biāo)之和等于1，不適合．
若直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB為y=k（x-

1

2

）
代入拋物線y²=2x得，k²x²-（k²+2）x+

1

4

k²=0
∵A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于2，
∴

k2+2

k2

=2，k²=2，k=±

2

則這樣的直線有且僅有兩條，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用．解題的時(shí)候要注意討論直線斜率不存在時(shí)的情況，以免遺漏．