Question

已知對于任意實數x，二次函數f（x）=x²-4ax+2a+12（a∈R）的值都是非負的，求函數g（a）=（a+1）（|a-1|+2）的值域．

Answer 1

分析：先根據f（x）=x²-4ax+2a+12（a∈R）的值都是非負的，判別式小于等于0求得a的范圍，進而根據a的范圍確定函數g（a）的解析式，根據函數的單調性求得函數的值域．

解答：解：依題意可知△=16a²-4（2a+12）≤0，解得-

3

2

≤a≤2
當1≤a≤2時，g（a）=（a+1）（|a-1|+2）=（a+1）²，單調增
∴g（a）∈[4，9]
當-

3

2

≤a＜1時，g（a）=（a+1）（|a-1|+2）=-（a-1）²+4，函數單調增
∴g（a）∈[-

9

4

，4）
綜合得函數g（a）的值域為[-

9

4

，9]

點評：本題主要考查了函數的值域問題．解題的關鍵是求得函數的解析式和在定義域上的單調性．